Упр.29.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) прямую в прямую; в) отрезок в отрезок;
б) окружность в окружность; г) круг в круг. Решите систему уравнений:
а) {0,5^x·0,5^(2y)=8, 2^(2x-3)·8^(-y)=32};
б) {(v3)^(x+y)·(v3)^y=v3·v27, 0,1^(x+1)·10^(3y)=100};
в) {0,3^(3x+2y)·0,3^(y-2x)=1, (1/3)^(x-y)·3^(y+1)=9};
г) {0,6^(3x+2y)·0,6^(2x-y)=0,6, 10^(x-2y)·10^(3y-1)=10}.

Подробный ответ

Пусть задана линейная функция $$w=kz+m,\quad k\ne 0.$$

Её можно представить как последовательность преобразований:

поворот на угол $$\alpha=\arg k$$ вокруг точки $$O$$;
гомотетия с коэффициентом $$|k|$$ и центром $$O$$;
параллельный перенос на вектор, соответствующий числу $$m$$.

Каждое из этих преобразований является преобразованием подобия. Значит, образ любой фигуры подобен исходной. Поэтому:

прямая переходит в прямую;
окружность переходит в окружность;
отрезок переходит в отрезок;
круг переходит в круг.

Решим системы уравнений.

$$ \begin{cases} 0{,}5^x\cdot 0{,}5^{2y}=8,\\ 2^{2x-3}\cdot 8^{-y}=32 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$ 0{,}5^{x+2y}=8=0{,}5^{-3} $$
$$ x+2y=-3 $$
Второе уравнение:
$$ 2^{2x-3}\cdot 2^{-3y}=2^5 $$
$$ 2x-3-3y=5 $$
$$ 2x-3y=8 $$
Из системы
$$ \begin{cases} x+2y=-3,\\ 2x-3y=8 \end{cases} $$
получаем $$y=-2$$, $$x=1$$.
Ответ: $$(1;\,-2).$$
$$ \begin{cases} (\sqrt3)^{x+y}\cdot (\sqrt3)^y=\sqrt3\cdot \sqrt{27},\\ 0{,}1^{x+1}\cdot 10^{3y}=100 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$ (\sqrt3)^{x+2y}=\sqrt3\cdot \sqrt{27}=3\sqrt3=3^{3/2} $$
Так как $$\sqrt3=3^{1/2}$$, то
$$ 3^{\frac{x+2y}{2}}=3^{3/2} $$
$$ x+2y=3 $$
Второе уравнение:
$$ 10^{-(x+1)}\cdot 10^{3y}=10^2 $$
$$ 10^{-x-1+3y}=10^2 $$
$$ -x+3y=3 $$
Из системы
$$ \begin{cases} x+2y=3,\\ -x+3y=3 \end{cases} $$
получаем $$y=\frac65=1{,}2$$, $$x=\frac35=0{,}6$$.
Ответ: $$(0{,}6;\,1{,}2).$$
$$ \begin{cases} 0{,}3^{3x+2y}\cdot 0{,}3^{y-2x}=1,\\ \left(\frac13\right)^{x-y}\cdot 3^{y+1}=9 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$ 0{,}3^{x+3y}=1=0{,}3^0 $$
$$ x+3y=0 $$
$$ x=-3y $$
Второе уравнение:
$$ \left(\frac13\right)^{x-y}=3^{y-x} $$
Тогда
$$ 3^{y-x}\cdot 3^{y+1}=9=3^2 $$
$$ 3^{2y-x+1}=3^2 $$
$$ 2y-x+1=2 $$
$$ -x+2y=1 $$
Подставим $$x=-3y$$:
$$ 3y+2y=1 $$
$$ 5y=1,\quad y=0{,}2 $$
$$ x=-3\cdot 0{,}2=-0{,}6 $$
Ответ: $$(-0{,}6;\,0{,}2).$$
$$ \begin{cases} 0{,}6^{3x+2y}\cdot 0{,}6^{2x-y}=0{,}6,\\ 10^{x-2y}\cdot 10^{3y-1}=10 \end{cases} $$
Первое уравнение:
$$ 0{,}6^{5x+y}=0{,}6^1 $$
$$ 5x+y=1 $$
$$ y=1-5x $$
Второе уравнение:
$$ 10^{x-2y+3y-1}=10^1 $$
$$ 10^{x+y-1}=10 $$
$$ x+y-1=1 $$
$$ x+y=2 $$
Подставим $$y=1-5x$$:
$$ x+1-5x=2 $$
$$ -4x=1,\quad x=-0{,}25 $$
$$ y=1-5\cdot(-0{,}25)=2{,}25 $$
Ответ: $$(-0{,}25;\,2{,}25).$$