Упр.29.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Запишем число в тригонометрической форме.

а) $$z=2i^3=-2i.$$

$$|z|=2,\quad \cos\varphi=0,\quad \sin\varphi=-1,\quad \varphi=-\frac{\pi}{2}.$$

$$z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$

б) $$z=3-i\sqrt{27}=3-3\sqrt{3}\,i.$$

$$|z|=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=6,$$

$$\cos\varphi=\frac12,\quad \sin\varphi=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \varphi=-\frac{\pi}{3}.$$

$$z=6\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$

в) $$z=3i^{-3}-3=\frac{3i}{i^4}-3=3i-3.$$

$$|z|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=3\sqrt2,$$

$$\cos\varphi=-\frac{1}{\sqrt2},\quad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt2},\quad \varphi=\frac{3\pi}{4}.$$

$$z=3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$$

г) $$z=3+i^{-1}\sqrt3=3+\frac{i\sqrt3}{i^2}=3-i\sqrt3.$$

$$|z|=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3,$$

$$\cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\varphi=-\frac12,\quad \varphi=-\frac{\pi}{6}.$$

$$z=2\sqrt3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

2. Решим системы уравнений методом введения новой переменной.

а) $$\begin{cases}2x+3y=12,\\ (\log_6(xy))^2+1=2\log_6(xy).\end{cases}$$

Пусть $$t=\log_6(xy).$$ Тогда

$$t^2-2t+1=0,$$

$$\left(t-1\right)^2=0,\quad t=1.$$

Следовательно, $$xy=6,$$ значит $$y=\frac{6}{x}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2x+3\cdot\frac{6}{x}=12,$$

$$2x^2-12x+18=0,$$

$$x^2-6x+9=0,$$

$$\left(x-3\right)^2=0,\quad x=3.$$

Тогда $$y=\frac{6}{3}=2.$$

б) $$\begin{cases}\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=10-3\sqrt[4]{xy},\\ 2x-5y=6.\end{cases}$$

Пусть $$t=\sqrt[4]{xy}.$$ Тогда $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}=t^2,$$ и первое уравнение принимает вид

$$t^2+3t-10=0,$$

$$\left(t+5\right)\left(t-2\right)=0.$$

Так как $$t\ge 0,$$ получаем $$t=2.$$ Тогда

$$\sqrt[4]{xy}=2,\quad xy=16,$$

то есть $$y=\frac{16}{x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2x-5\cdot\frac{16}{x}=6,$$

$$2x^2-6x-80=0,$$

$$x^2-3x-40=0,$$

$$\left(x-8\right)\left(x+5\right)=0.$$

С учётом ОДЗ подходит $$x=8,$$ тогда $$y=\frac{16}{8}=2.$$

в) $$\begin{cases}6x-2y=-5,\\ (\log_{0,5}(y/x))^2+9=6\log_{0,5}(x/y).\end{cases}$$

Пусть $$t=\log_{0,5}\left(\frac{y}{x}\right).$$ Тогда

$$\log_{0,5}\left(\frac{x}{y}\right)=-t,$$

и второе уравнение имеет вид

$$t^2+9=-6t,$$

$$t^2+6t+9=0,$$

$$\left(t+3\right)^2=0,\quad t=-3.$$

Тогда

$$\log_{0,5}\left(\frac{y}{x}\right)=-3,$$

$$\frac{y}{x}=8,\quad y=8x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$6x-2\cdot 8x=-5,$$

$$-10x=-5,\quad x=\frac12,$$

$$y=8\cdot\frac12=4.$$

г) $$\begin{cases}8x^{2/3}y^{2/3}=15(xy)^{1/3}+2,\\ 3x-4y=4.\end{cases}$$

Пусть $$t=(xy)^{1/3}.$$ Тогда $$x^{2/3}y^{2/3}=t^2,$$ и первое уравнение принимает вид

$$8t^2-15t-2=0.$$

$$D=15^2+4\cdot 8\cdot 2=289,$$

$$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{16}.$$

Получаем $$t_1=-\frac18,\quad t_2=2.$$

Так как $$t=(xy)^{1/3},$$ берём $$t=2,$$ значит

$$xy=8,\quad y=\frac{8}{x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$3x-4\cdot\frac{8}{x}=4,$$

$$3x^2-4x-32=0,$$

$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 32=400,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 20}{6}.$$

Подходит $$x=4,$$ тогда $$y=\frac{8}{4}=2.$$

Ответ

а) $$2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right);$$ б) $$6\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right);$$ в) $$3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right);$$ г) $$2\sqrt3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

а) $$\left(3;2\right);$$ б) $$\left(8;2\right);$$ в) $$\left(\frac12;4\right);$$ г) $$\left(4;2\right).$$