Упр.29.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) 2i^3; в) 3i^(-3) — 3;
б) 3 — iv27; г) 3 + i^(-1) v3. Решите систему уравнений методом введения новой переменной:
а) {2x+3y=12, (log_6(xy))^2+1=2log_6(xy)};
б) {vx·vy=10-3(xy)^(1/4), 2x-5y=6};
в) {6x-2y=-5, (log_0,5(y/x))^2+9=6log_0,5(x/y)};
г) {8x^(2/3)y^(2/3)=15(xy)^(1/3)+2, 3x-4y=4}.
1. Запишем число в тригонометрической форме.
а) $$z=2i^3=-2i.$$
$$|z|=2,\quad \cos\varphi=0,\quad \sin\varphi=-1,\quad \varphi=-\frac{\pi}{2}.$$
$$z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$
б) $$z=3-i\sqrt{27}=3-3\sqrt{3}\,i.$$
$$|z|=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=6,$$
$$\cos\varphi=\frac12,\quad \sin\varphi=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \varphi=-\frac{\pi}{3}.$$
$$z=6\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$
в) $$z=3i^{-3}-3=\frac{3i}{i^4}-3=3i-3.$$
$$|z|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=3\sqrt2,$$
$$\cos\varphi=-\frac{1}{\sqrt2},\quad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt2},\quad \varphi=\frac{3\pi}{4}.$$
$$z=3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$$
г) $$z=3+i^{-1}\sqrt3=3+\frac{i\sqrt3}{i^2}=3-i\sqrt3.$$
$$|z|=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3,$$
$$\cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\varphi=-\frac12,\quad \varphi=-\frac{\pi}{6}.$$
$$z=2\sqrt3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$
2. Решим системы уравнений методом введения новой переменной.
а) $$\begin{cases}2x+3y=12,\\ (\log_6(xy))^2+1=2\log_6(xy).\end{cases}$$
Пусть $$t=\log_6(xy).$$ Тогда
$$t^2-2t+1=0,$$
$$\left(t-1\right)^2=0,\quad t=1.$$
Следовательно, $$xy=6,$$ значит $$y=\frac{6}{x}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2x+3\cdot\frac{6}{x}=12,$$
$$2x^2-12x+18=0,$$
$$x^2-6x+9=0,$$
$$\left(x-3\right)^2=0,\quad x=3.$$
Тогда $$y=\frac{6}{3}=2.$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=10-3\sqrt[4]{xy},\\ 2x-5y=6.\end{cases}$$
Пусть $$t=\sqrt[4]{xy}.$$ Тогда $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}=t^2,$$ и первое уравнение принимает вид
$$t^2+3t-10=0,$$
$$\left(t+5\right)\left(t-2\right)=0.$$
Так как $$t\ge 0,$$ получаем $$t=2.$$ Тогда
$$\sqrt[4]{xy}=2,\quad xy=16,$$
то есть $$y=\frac{16}{x}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2x-5\cdot\frac{16}{x}=6,$$
$$2x^2-6x-80=0,$$
$$x^2-3x-40=0,$$
$$\left(x-8\right)\left(x+5\right)=0.$$
С учётом ОДЗ подходит $$x=8,$$ тогда $$y=\frac{16}{8}=2.$$
в) $$\begin{cases}6x-2y=-5,\\ (\log_{0,5}(y/x))^2+9=6\log_{0,5}(x/y).\end{cases}$$
Пусть $$t=\log_{0,5}\left(\frac{y}{x}\right).$$ Тогда
$$\log_{0,5}\left(\frac{x}{y}\right)=-t,$$
и второе уравнение имеет вид
$$t^2+9=-6t,$$
$$t^2+6t+9=0,$$
$$\left(t+3\right)^2=0,\quad t=-3.$$
Тогда
$$\log_{0,5}\left(\frac{y}{x}\right)=-3,$$
$$\frac{y}{x}=8,\quad y=8x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$6x-2\cdot 8x=-5,$$
$$-10x=-5,\quad x=\frac12,$$
$$y=8\cdot\frac12=4.$$
г) $$\begin{cases}8x^{2/3}y^{2/3}=15(xy)^{1/3}+2,\\ 3x-4y=4.\end{cases}$$
Пусть $$t=(xy)^{1/3}.$$ Тогда $$x^{2/3}y^{2/3}=t^2,$$ и первое уравнение принимает вид
$$8t^2-15t-2=0.$$
$$D=15^2+4\cdot 8\cdot 2=289,$$
$$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{16}.$$
Получаем $$t_1=-\frac18,\quad t_2=2.$$
Так как $$t=(xy)^{1/3},$$ берём $$t=2,$$ значит
$$xy=8,\quad y=\frac{8}{x}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3x-4\cdot\frac{8}{x}=4,$$
$$3x^2-4x-32=0,$$
$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 32=400,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 20}{6}.$$
Подходит $$x=4,$$ тогда $$y=\frac{8}{4}=2.$$
Ответ
а) $$2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right);$$ б) $$6\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right);$$ в) $$3\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right);$$ г) $$2\sqrt3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$
а) $$\left(3;2\right);$$ б) $$\left(8;2\right);$$ в) $$\left(\frac12;4\right);$$ г) $$\left(4;2\right).$$
