Упр.29.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) В январе 2017 г. Андрей открыл вклад в евро в банке «Зевс». Через год проценты по вкладу составили 20 евро, и Андрей добавил на вклад ещё 480 евро. В результате через год при закрытии счёта на нём оказалось 1530 евро. Какую сумму Андрей положил на счёт первоначально?
б) В январе 2017 г. Борис открыл рублёвый вклад в банке «Сатурн». Через год проценты по вкладу составили 6000 р. Борис добавил на вклад ещё 15 000 р. В результате через год при закрытии счёта на нём оказалось 89 100 р. Какую сумму Борис положил на счёт первоначально?

Подробный ответ

а) Пусть первоначально Андрей положил на счёт $$x$$ евро, а годовой процент равен $$y\%$$.

Тогда через год проценты составили $$20$$ евро, значит

$$x \cdot \frac{y}{100}=20,$$

откуда

$$xy=2000.$$

После начисления процентов и добавления ещё $$480$$ евро сумма стала $$x\left(1+\frac{y}{100}\right)+480$$. Ещё через год на счёте оказалось $$1530$$ евро:

$$\left(x\left(1+\frac{y}{100}\right)+480\right)\left(1+\frac{y}{100}\right)=1530.$$

Так как $$\frac{y}{100}=\frac{20}{x},$$ получаем

$$\left(x\left(1+\frac{20}{x}\right)+480\right)\left(1+\frac{20}{x}\right)=1530,$$

$$\left(x+20+480\right)\frac{x+20}{x}=1530,$$

$$\frac{(x+500)(x+20)}{x}=1530.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2+520x+10000=1530x,$$

$$x^2-1010x+10000=0.$$

Найдём корни:

$$D=1010^2-4\cdot10000=980100,$$

$$x=\frac{1010\pm990}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=10,\quad x_2=1000.$$

Проверим по условию: при $$x=10$$ получаем $$y=200\%,$$ что даёт слишком большой процент, а при $$x=1000$$ имеем $$y=2\%.$$ Значит, подходит $$x=1000$$.

б) Пусть первоначально Борис положил на счёт $$x$$ рублей, а годовой процент равен $$y\%$$.

Тогда через год проценты составили $$6000$$ рублей:

$$x \cdot \frac{y}{100}=6000,$$

откуда

$$xy=600000.$$

После начисления процентов и добавления ещё $$15000$$ рублей сумма стала $$x\left(1+\frac{y}{100}\right)+15000$$. Ещё через год на счёте оказалось $$89100$$ рублей:

$$\left(x\left(1+\frac{y}{100}\right)+15000\right)\left(1+\frac{y}{100}\right)=89100.$$

Так как $$\frac{y}{100}=\frac{6000}{x},$$ получаем

$$\left(x\left(1+\frac{6000}{x}\right)+15000\right)\left(1+\frac{6000}{x}\right)=89100,$$

$$\left(x+6000+15000\right)\frac{x+6000}{x}=89100,$$

$$\frac{(x+21000)(x+6000)}{x}=89100.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2+27000x+126000000=89100x,$$

$$x^2-62100x+126000000=0.$$

Найдём корни:

$$D=62100^2-4\cdot126000000=3352410000,$$

$$x=\frac{62100\pm57900}{2}.$$

Отсюда