Упр.29.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Имеется два слитка. В первом слитке содержание алюминия составляет $$30\%$$. Если от первого слитка взять кусок $$5\ \text{кг}$$ и сплавить со вторым, то получится слиток, содержащий $$56\%$$ алюминия. Если же от первого слитка взять кусок $$3\ \text{кг}$$ и сплавить со вторым слитком, то получится слиток, содержащий $$60\%$$ алюминия. Чему равна масса второго слитка и процентное содержание в нём алюминия?

б) Имеется сплав серебра с медью. Сплавив его с $$3\ \text{кг}$$ чистого серебра, можно получить сплав, содержащий $$90\%$$ серебра, а сплавив с $$2\ \text{кг}$$ сплава, содержащего $$90\%$$ серебра, можно получить сплав с $$84\%$$-ной массовой долей серебра. Найдите процентное содержание серебра в имеющемся сплаве.

Подробный ответ

а) Пусть масса второго слитка равна $$x$$ кг, а содержание алюминия в нём — $$y\%$$.

Составим уравнения по условию:

$$5\cdot 0{,}3 + x\cdot \frac{y}{100} = (x+5)\cdot 0{,}56$$
$$3\cdot 0{,}3 + x\cdot \frac{y}{100} = (x+3)\cdot 0{,}6$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$5\cdot 0{,}3 — 3\cdot 0{,}3 = 0{,}56(x+5) — 0{,}6(x+3)$$
$$0{,}6 = 0{,}56x + 2{,}8 — 0{,}6x — 1{,}8$$
$$0{,}6 = -0{,}04x + 1$$
$$0{,}04x = 0{,}4$$
$$x = 10$$

Подставим $$x=10$$ в первое уравнение:

$$5\cdot 0{,}3 + 10\cdot \frac{y}{100} = 15\cdot 0{,}56$$
$$1{,}5 + \frac{10y}{100} = 8{,}4$$
$$\frac{y}{10} = 6{,}9$$
$$y = 69$$

б) Пусть масса данного сплава равна $$x$$ кг, а содержание серебра в нём — $$y\%$$.

По первому условию:

$$x\cdot \frac{y}{100} + 3 = (x+3)\cdot 0{,}9$$

По второму условию:

$$x\cdot \frac{y}{100} + 2\cdot 0{,}9 = (x+2)\cdot 0{,}84$$

Из первого уравнения:

$$\frac{xy}{100} = 0{,}9(x+3)-3$$

Подставим это во второе:

$$0{,}9(x+3)-3+1{,}8 = 0{,}84(x+2)$$
$$0{,}9x+2{,}7-1{,}2 = 0{,}84x+1{,}68$$
$$0{,}06x = 0{,}18$$
$$x = 3$$

Теперь найдём $$y$$: