Упр.29.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Через два крана некоторую ёмкость объёмом 98 м^3 наполняют водой. При этом первые 5 ч работает только первый кран, после чего его выключают и 4 ч работает второй кран. Какова пропускная способность второго крана, если 1 м^3 он заполняет на 1 мин быстрее, чем первый?

Подробный ответ

а) Пусть первому токарю на выполнение всей работы требуется $$x$$ ч, а второму — $$y$$ ч.

Если бы сначала половину работы сделал первый, а вторую половину — второй, то на это ушло бы

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=75.$$

Отсюда

$$x+y=150,$$

значит,

$$y=150-x.$$

По условию вместе они выполняют работу за 36 ч, значит, их производительности складываются:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{36}.$$

Подставим $$y=150-x$$:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{150-x}=\frac{1}{36}.$$

Умножим на $$36x(150-x)$$:

$$36(150-x)+36x=x(150-x).$$

$$5400=150x-x^2,$$

$$x^2-150x+5400=0.$$

Найдём корни:

$$D=150^2-4\cdot 5400=900,$$

$$x=\frac{150\pm 30}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=60,\quad x_2=90.$$

Тогда

$$y_1=150-60=90,\quad y_2=150-90=60.$$

Значит, один токарь выполняет работу за 60 ч, другой — за 90 ч.

б) Пусть первый кран наполняет $$x$$ м³/ч, а второй — $$y$$ м³/ч.

За 5 ч первый кран и за 4 ч второй кран вместе наполняют ёмкость объёмом 98 м³:

$$5x+4y=98.$$

По условию второй кран заполняет 1 м³ на 1 мин быстрее, чем первый. Значит, если первый заполняет 1 м³ за $$\frac{1}{x}$$ ч, а второй — за $$\frac{1}{y}$$ ч, то

$$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{60}.$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{98-5x}{4}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{1}{x}=\frac{4}{98-5x}+\frac{1}{60}.$$

Умножим на $$60x(98-5x)$$:

$$60(98-5x)=240x+x(98-5x).$$

$$5880-300x=240x+98x-5x^2,$$

$$5x^2-638x+5880=0.$$

Найдём корни:

$$D=638^2-4\cdot 5\cdot 5880=289444,$$

$$x=\frac{638\pm 538}{10}.$$