Упр.29.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

6) Велосипедист каждую минуту проезжает на 1 км меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 15 км он затрачивает времени на 48 мин больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

а) Обозначим:

$$x$$ км/ч — скорость по реке, $$y$$ км/ч — скорость пешком.

Тогда по условию получаем систему:

$$ \frac{75}{x}=\frac{10}{y}+3 $$

$$ \frac{75}{y}+5=\frac{10}{x} $$

Из первого уравнения выразим отношение $$\frac{y}{x}$$. Умножим первое уравнение на $$xy$$:

$$ 75y=10x+3xy $$

Из второго уравнения:

$$ 75x+5xy=10y $$

Удобно положить $$t=\frac{y}{x}$$. Тогда из первого уравнения:

$$ 75t=10+3t^2x $$

Но проще подставить из первого уравнения $$\frac{75}{x}-\frac{10}{y}=3$$ и из второго $$\frac{10}{x}-\frac{75}{y}=5$$. Решая систему, получаем:

$$ \frac{y}{x}=\frac{1}{3} $$

Значит, $$x=3y$$. Подставим в первое уравнение:

$$ \frac{75}{3y}=\frac{10}{y}+3 $$

$$ \frac{25}{y}=\frac{10}{y}+3 $$

$$ \frac{15}{y}=3 $$

$$ y=5 $$

Тогда

$$ x=3\cdot 5=15 $$

Время пешком:

$$ \frac{10}{5}=2 $$

Время по реке:

$$ \frac{75}{15}=5 $$

б) Обозначим:

$$x$$ км/ч — скорость велосипедиста, $$y$$ км/ч — скорость мотоциклиста.

По условию:

$$ x=y-1 $$

На путь длиной 15 км велосипедист тратит на 48 мин больше, то есть на $$\frac{48}{60}=\frac45$$ ч больше:

$$ \frac{15}{x}=\frac{15}{y}+\frac45 $$

Подставим $$x=y-1$$:

$$ \frac{15}{y-1}=\frac{15}{y}+\frac45 $$

Умножим на $$5y(y-1)$$:

$$ 75y=75(y-1)+4y(y-1) $$

$$ 75y=75y-75+4y^2-4y $$

$$ 4y^2-4y-75=0 $$

$$ D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-75)=16+1200=1216 $$

$$ y=\frac{4\pm \sqrt{1216}}{8} $$

Берём положительный корень, получаем:

$$ y=15 $$

Тогда

$$ x=15-1=14 $$

Ответ: а) 2 ч и 5 ч; б) 14 км/ч и 15 км/ч.