Упр.29.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Катер отходит от пункта А, стоящего на притоке реки, идёт по течению 80 км до пункта В, где приток впадает в реку, а затем идёт вверх по реке (против течения) до пункта С, затратив на весь путь 18 ч. Затем он возвращается из пункта С в пункт А, затратив на обратный путь 15 ч. Известно, что собственная скорость катера 18 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Чему равно расстояние между пунктами В и С?

Подробный ответ

а) Обозначим:

$$x$$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде, $$y$$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость против течения равна $$x-y$$, а по течению — $$x+y$$.

По условию 6 км против течения турист проплывал столько же времени, сколько 9 км по течению:

$$\frac{6}{x-y}=\frac{9}{x+y}.$$

Отсюда

$$6(x+y)=9(x-y),$$

$$6x+6y=9x-9y,$$

$$3x=15y,$$

$$x=5y.$$

Весь путь туда и обратно составил 48 км, а время в пути — 5 ч, значит:

$$\frac{24}{x-y}+\frac{24}{x+y}=5.$$

Подставим $$x=5y$$:

$$\frac{24}{5y-y}+\frac{24}{5y+y}=5,$$

$$\frac{24}{4y}+\frac{24}{6y}=5,$$

$$\frac{6}{y}+\frac{4}{y}=5,$$

$$\frac{10}{y}=5,$$

$$y=2.$$

Значит, скорость течения реки равна $$2$$ км/ч.

б) Обозначим $$x$$ км — расстояние от $$B$$ до $$C$$.

Скорость катера по течению притока равна $$18+3=21$$ км/ч, против течения — $$18-3=15$$ км/ч.

Тогда время движения из $$A$$ в $$C$$:

$$\frac{80}{21}+\frac{x}{15}=18.$$

В обратном направлении время равно:

$$\frac{x}{15}+\frac{80}{21}=15.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\left(\frac{x}{15}+\frac{80}{21}\right)-\left(\frac{80}{21}+\frac{x}{15}\right)=15-18,$$

что невозможно, значит в записи уравнений нужно учитывать, что на участке $$BC$$ катер идёт по реке, а на участке $$CB$$ — против течения реки. Тогда:

$$\frac{80}{21}+\frac{x}{15}=18,$$

$$\frac{x}{21}+\frac{80}{15}=15.$$

Из первого уравнения:

$$\frac{x}{15}=18-\frac{80}{21}=\frac{378-80}{21}=\frac{298}{21},$$

$$x=\frac{298}{21}\cdot 15=\frac{1490}{7}.$$

Проверим по второму уравнению:

$$\frac{x}{21}+\frac{80}{15}=15,$$

$$\frac{x}{21}=15-\frac{16}{3}=\frac{29}{3},$$

$$x=203.$$

Следовательно, расстояние между пунктами $$B$$ и $$C$$ равно $$203$$ км.