Упр.29.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислим значения:

   $$\frac{1}{z_1}=\frac{1}{i-17}=\frac{i+17}{(i-17)(i+17)}=\frac{i+17}{i^2-289}=\frac{17+i}{290};$$

   $$\frac{1}{z_2}=\frac{25}{1-18i}=\frac{25(1+18i)}{(1-18i)(1+18i)}=\frac{25(1+18i)}{1+324}=\frac{1+18i}{13};$$

   $$\left(\frac{i}{z_3}\right)^{-1}=\frac{z_3}{i}=\frac{14+23i}{i}=23-14i;$$

   $$\frac{i}{(z_4)^{-1}}=i\cdot \overline{z_4}=i(0{,}64+2{,}52i)=0{,}64i-2{,}52.$$

2. Решим систему а):

   $$\begin{cases} 4x=y+3,\\ 7^{\,y-3x+4}=7^{\,y-5x+3}+6. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=4x-3.$$

   Подставим во второе:

   $$7^{\,4x-3-3x+4}=7^{\,4x-3-5x+3}+6,$$
   $$7^{x+1}=7^{-x}+6.$$

   Положим $$t=7^x,\quad t>0.$$ Тогда

   $$7t=\frac{1}{t}+6,$$
   $$7t^2-6t-1=0.$$

   $$D=36+28=64,\quad t_1=\frac{6-8}{14}=-\frac17,\quad t_2=\frac{6+8}{14}=1.$$

   Так как $$t>0,$$ то $$t=1,$$ значит $$7^x=1,$$ откуда $$x=0.$$ Тогда

   $$y=4\cdot 0-3=-3.$$

   Ответ: $$\,(0;\,-3).$$

3. Решим систему б):

   $$\begin{cases} x=3y,\\ \log_{1/7}(y+x)+\log_{1/7}(x-2y-1)=\log_{1/7}\dfrac{8}{y-1}. \end{cases}$$

   Подставим $$x=3y$$ во второе уравнение:

   $$\log_{1/7}(4y)+\log_{1/7}(y-1)=\log_{1/7}\dfrac{8}{y-1}.$$

   Область допустимых значений:

   $$4y>0,\quad y-1>0 \;\Rightarrow\; y>1.$$

   Сложим логарифмы:

   $$\log_{1/7}\bigl(4y(y-1)\bigr)=\log_{1/7}\dfrac{8}{y-1}.$$

   Тогда

   $$4y(y-1)=\frac{8}{y-1},$$
   $$4y(y-1)^2=8,$$
   $$y(y-1)^2=2.$$

   $$y^3-2y^2+y-2=0,$$
   $$y^2(y-2)+(y-2)=0,$$
   $$(y^2+1)(y-2)=0.$$

   С учётом $$y>1$$ получаем $$y=2.$$ Тогда

   $$x=3\cdot 2=6.$$

   Ответ: $$\,(6;\,2).$$

4. Решим систему в):

   $$\begin{cases} 3y=x-2,\\ 5^{2x-5y-3}=6-5^{2y-x+2}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$x=3y+2.$$

   Подставим во второе:

   $$5^{2(3y+2)-5y-3}=6-5^{2y-(3y+2)+2},$$
   $$5^{y+1}=6-5^{-y}.$$

   Положим $$t=5^y,\quad t>0.$$ Тогда

   $$5t=6-\frac{1}{t},$$
   $$5t^2-6t+1=0.$$

   $$D=36-20=16,\quad t_1=\frac{6-4}{10}=\frac15,\quad t_2=\frac{6+4}{10}=1.$$

   Отсюда:

   $$5^y=\frac15 \Rightarrow y=-1,\quad x=3(-1)+2=-1;$$

   $$5^y=1 \Rightarrow y=0,\quad x=2.$$

   Ответ: $$\,(-1;\,-1),\ (2;\,0).$$

5. Решим систему г):

   $$\begin{cases} y=2x,\\ \log_{1/6}(4x-y)+\log_{1/6}(5x-2y-2)=5\log_{1/6}\dfrac{2}{\sqrt[5]{x-2}}. \end{cases}$$

   Подставим $$y=2x$$:

   $$\log_{1/6}(2x)+\log_{1/6}(x-2)=\log_{1/6}\dfrac{32}{x-2}.$$

   ОДЗ:

   $$2x>0,\quad x-2>0 \Rightarrow x>2.$$

   Сложим логарифмы:

   $$\log_{1/6}\bigl(2x(x-2)\bigr)=\log_{1/6}\dfrac{32}{x-2}.$$

   Следовательно,

   $$2x(x-2)=\frac{32}{x-2},$$
   $$2x(x-2)^2=32,$$
   $$x(x-2)^2=16.$$

   $$x^3-4x^2+4x-16=0,$$
   $$x^2(x-4)+4(x-4)=0,$$
   $$(x^2+4)(x-4)=0.$$

   С учётом $$x>2$$ получаем $$x=4.$$ Тогда

   $$y=2\cdot 4=8.$$

   Ответ: $$\,(4;\,8).$$

Ответ

а) $$\frac{17+i}{290};$$ б) $$\frac{1+18i}{13};$$ в) $$23-14i;$$ г) $$0{,}64i-2{,}52.$$
а) $$\,(0;\,-3);$$ б) $$\,(6;\,2);$$ в) $$\,(-1;\,-1),\ (2;\,0);$$ г) $$\,(4;\,8).$$