Упр.29.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) 1 / z_1; б) 1 / z_2; в) (i / z_3)^(-1); г) i / (!z_4)^(-1). Решите систему уравнений методом подстановки:
а) {4x=y+3, 7^(y-3x+4)=7^(y-5x+3)+6};
б) {x=3y, log_(1/7)(y+x)+log_(1/7)(x-2y-1)=log_(1/7)(8/(y-1))};
в) {3y=x-2, 5^(2x-5y-3)=6-5^(2y-x+2)};
г) {y=2x, log_(1/6)(4x-y)+log_(1/6)(5x-2y-2)=5log_(1/6)(2/(x-2)^(1/5))}.
Вычислим значения:
$$\frac{1}{z_1}=\frac{1}{i-17}=\frac{i+17}{(i-17)(i+17)}=\frac{i+17}{i^2-289}=\frac{17+i}{290};$$
$$\frac{1}{z_2}=\frac{25}{1-18i}=\frac{25(1+18i)}{(1-18i)(1+18i)}=\frac{25(1+18i)}{1+324}=\frac{1+18i}{13};$$
$$ \left(\frac{i}{z_3}\right)^{-1}=\frac{z_3}{i}=\frac{14+23i}{i}=23-14i; $$
$$ \frac{i}{(z_4)^{-1}}=i\cdot \overline{z_4}=i(0{,}64+2{,}52i)=0{,}64i-2{,}52. $$
Решим систему а):
$$ \begin{cases} 4x=y+3,\\ 7^{\,y-3x+4}=7^{\,y-5x+3}+6. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$y=4x-3.$$
Подставим во второе:
$$ 7^{\,4x-3-3x+4}=7^{\,4x-3-5x+3}+6, $$
$$ 7^{x+1}=7^{-x}+6. $$Положим $$t=7^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$ 7t=\frac{1}{t}+6, $$
$$ 7t^2-6t-1=0. $$$$ D=36+28=64,\quad t_1=\frac{6-8}{14}=-\frac17,\quad t_2=\frac{6+8}{14}=1. $$
Так как $$t>0,$$ то $$t=1,$$ значит $$7^x=1,$$ откуда $$x=0.$$ Тогда
$$y=4\cdot 0-3=-3.$$
Ответ: $$\,(0;\,-3).$$
Решим систему б):
$$ \begin{cases} x=3y,\\ \log_{1/7}(y+x)+\log_{1/7}(x-2y-1)=\log_{1/7}\dfrac{8}{y-1}. \end{cases} $$
Подставим $$x=3y$$ во второе уравнение:
$$ \log_{1/7}(4y)+\log_{1/7}(y-1)=\log_{1/7}\dfrac{8}{y-1}. $$
Область допустимых значений:
$$4y>0,\quad y-1>0 \;\Rightarrow\; y>1.$$
Сложим логарифмы:
$$ \log_{1/7}\bigl(4y(y-1)\bigr)=\log_{1/7}\dfrac{8}{y-1}. $$
Тогда
$$ 4y(y-1)=\frac{8}{y-1}, $$
$$ 4y(y-1)^2=8, $$
$$ y(y-1)^2=2. $$$$ y^3-2y^2+y-2=0, $$
$$ y^2(y-2)+(y-2)=0, $$
$$ (y^2+1)(y-2)=0. $$С учётом $$y>1$$ получаем $$y=2.$$ Тогда
$$x=3\cdot 2=6.$$
Ответ: $$\,(6;\,2).$$
Решим систему в):
$$ \begin{cases} 3y=x-2,\\ 5^{2x-5y-3}=6-5^{2y-x+2}. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$x=3y+2.$$
Подставим во второе:
$$ 5^{2(3y+2)-5y-3}=6-5^{2y-(3y+2)+2}, $$
$$ 5^{y+1}=6-5^{-y}. $$Положим $$t=5^y,\quad t>0.$$ Тогда
$$ 5t=6-\frac{1}{t}, $$
$$ 5t^2-6t+1=0. $$$$ D=36-20=16,\quad t_1=\frac{6-4}{10}=\frac15,\quad t_2=\frac{6+4}{10}=1. $$
Отсюда:
$$ 5^y=\frac15 \Rightarrow y=-1,\quad x=3(-1)+2=-1; $$
$$ 5^y=1 \Rightarrow y=0,\quad x=2. $$
Ответ: $$\,(-1;\,-1),\ (2;\,0).$$
Решим систему г):
$$ \begin{cases} y=2x,\\ \log_{1/6}(4x-y)+\log_{1/6}(5x-2y-2)=5\log_{1/6}\dfrac{2}{\sqrt[5]{x-2}}. \end{cases} $$
Подставим $$y=2x$$:
$$ \log_{1/6}(2x)+\log_{1/6}(x-2)=\log_{1/6}\dfrac{32}{x-2}. $$
ОДЗ:
$$2x>0,\quad x-2>0 \Rightarrow x>2.$$
Сложим логарифмы:
$$ \log_{1/6}\bigl(2x(x-2)\bigr)=\log_{1/6}\dfrac{32}{x-2}. $$
Следовательно,
$$ 2x(x-2)=\frac{32}{x-2}, $$
$$ 2x(x-2)^2=32, $$
$$ x(x-2)^2=16. $$$$ x^3-4x^2+4x-16=0, $$
$$ x^2(x-4)+4(x-4)=0, $$
$$ (x^2+4)(x-4)=0. $$С учётом $$x>2$$ получаем $$x=4.$$ Тогда
$$y=2\cdot 4=8.$$
Ответ: $$\,(4;\,8).$$
Ответ
а) $$\frac{17+i}{290};$$ б) $$\frac{1+18i}{13};$$ в) $$23-14i;$$ г) $$0{,}64i-2{,}52.$$
а) $$\,(0;\,-3);$$ б) $$\,(6;\,2);$$ в) $$\,(-1;\,-1),\ (2;\,0);$$ г) $$\,(4;\,8).$$
