Упр.29.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) Сумма цифр задуманного трёхзначного числа равна $$10$$, а сумма квадратов его цифр равна $$38$$. Если к задуманному числу прибавить $$297$$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.
б) Шифр замка выражается трёхзначным числом. Сумма его цифр равна $$12$$, а сумма квадратов его цифр равна $$56$$. Если к задуманному числу прибавить $$168$$, то в результате цифра сотен увеличится в $$2$$ раза, а цифры десятков и единиц — уменьшатся каждая в $$2$$ раза. Найдите шифр замка.
а) Пусть цифры задуманного числа — $$x,\ y,\ z$$. Тогда
$$x+y+z=10,\qquad x^2+y^2+z^2=38.$$
По условию, если к числу $$100x+10y+z$$ прибавить $$297$$, получится число $$100z+10y+x$$:
$$100x+10y+z+297=100z+10y+x.$$
Отсюда
$$99x+297=99z,\qquad z=x+3.$$
Тогда из первого уравнения
$$y=10-x-z=10-x-(x+3)=7-2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+(7-2x)^2+(x+3)^2=38.$$
$$x^2+49-28x+4x^2+x^2+6x+9=38$$
$$6x^2-22x+20=0$$
$$3x^2-11x+10=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot 10=1.$$
$$x=\frac{11\pm 1}{6}.$$
Подходит $$x=2$$, тогда
$$z=5,\qquad y=3.$$
Искомое число:
$$235.$$
б) Пусть цифры шифра — $$x,\ y,\ z$$. Тогда
$$x+y+z=12,\qquad x^2+y^2+z^2=56.$$
По условию после прибавления $$168$$ получаем число, в котором цифра сотен удвоилась, а цифры десятков и единиц уменьшились в 2 раза:
$$100x+10y+z+168=200x+5y+\frac z2.$$
Из первого уравнения
$$y=12-x-z.$$
Подставим в равенство:
$$100x+10(12-x-z)+z+168=200x+5(12-x-z)+\frac z2.$$
$$100x=5y+\frac z2+168.$$
После подстановки $$y=12-x-z$$ получаем
$$100x=60-5x-5z+\frac z2+168,$$
$$105x=228-\frac{9z}{2},$$
$$210x=456-9z,$$
$$z=\frac{152-70x}{3}.$$
Тогда
$$y=12-x-\frac{152-70x}{3}=\frac{67x-116}{3}.$$
Подставим в уравнение суммы квадратов:
$$x^2+\left(\frac{67x-116}{3}\right)^2+\left(\frac{152-70x}{3}\right)^2=56.$$
После преобразований получаем
$$4699x^2-18412x+18028=0.$$
$$D=18412^2-4\cdot 4699\cdot 18028=147456.$$
$$x=\frac{18412\pm 384}{2\cdot 4699}.$$
Подходит $$x=2$$. Тогда
$$y=\frac{67\cdot 2-116}{3}=6,\qquad z=\frac{152-70\cdot 2}{3}=4.$$
Шифр замка:
$$264.$$
Ответ
а) $$235$$; б) $$264$$.
