Упр.29.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Шифр замка выражается трёхзпачным числом. Сумма его цифр равна 12, а сумма квадратов его цифр равна 56. Если к задуманному числу прибавить 168, то в результате цифра сотен увеличится в 2 раза, а цифры десятков и единиц — уменьшатся каждая в 2 раза. Найдите шифр замка.

а) Пусть цифры задуманного числа — $$x,\ y,\ z$$. Тогда

$$ x+y+z=10,\qquad x^2+y^2+z^2=38. $$

По условию, если к числу $$100x+10y+z$$ прибавить $$297$$, получится число $$100z+10y+x$$:

$$ 100x+10y+z+297=100z+10y+x. $$

Отсюда

$$ 99x+297=99z,\qquad z=x+3. $$

Тогда из первого уравнения

$$ y=10-x-z=10-x-(x+3)=7-2x. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ x^2+(7-2x)^2+(x+3)^2=38. $$

$$ x^2+49-28x+4x^2+x^2+6x+9=38 $$

$$ 6x^2-22x+20=0 $$

$$ 3x^2-11x+10=0. $$

$$ D=11^2-4\cdot 3\cdot 10=1. $$

$$ x=\frac{11\pm 1}{6}. $$

Подходит $$x=2$$, тогда

$$ z=5,\qquad y=3. $$

Искомое число:

$$ 235. $$

б) Пусть цифры шифра — $$x,\ y,\ z$$. Тогда

$$ x+y+z=12,\qquad x^2+y^2+z^2=56. $$

По условию после прибавления $$168$$ получаем число, в котором цифра сотен удвоилась, а цифры десятков и единиц уменьшились в 2 раза:

$$ 100x+10y+z+168=200x+5y+\frac z2. $$

Из первого уравнения

$$ y=12-x-z. $$

Подставим в равенство:

$$ 100x+10(12-x-z)+z+168=200x+5(12-x-z)+\frac z2. $$

$$ 100x=5y+\frac z2+168. $$

После подстановки $$y=12-x-z$$ получаем

$$ 100x=60-5x-5z+\frac z2+168, $$

$$ 105x=228-\frac{9z}{2}, $$

$$ 210x=456-9z, $$

$$ z=\frac{152-70x}{3}. $$

Тогда

$$ y=12-x-\frac{152-70x}{3}=\frac{67x-116}{3}. $$

Подставим в уравнение суммы квадратов:

$$ x^2+\left(\frac{67x-116}{3}\right)^2+\left(\frac{152-70x}{3}\right)^2=56. $$

После преобразований получаем

$$ 4699x^2-18412x+18028=0. $$

$$ D=18412^2-4\cdot 4699\cdot 18028=147456. $$

$$ x=\frac{18412\pm 384}{2\cdot 4699}. $$

Подходит $$x=2$$. Тогда

$$ y=\frac{67\cdot 2-116}{3}=6,\qquad z=\frac{152-70\cdot 2}{3}=4. $$

Шифр замка:

$$ 264. $$

Ответ

а) $$235$$; б) $$264$$.