Упр.29.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Постройте в прямоугольной системе координат $$xOy$$ параболу $$y=ax^2+bx+c$$, если известно, что она проходит через точки $$N$$, $$M$$, $$K$$:
   а) $$N(-1; 1)$$, $$M(2; 10)$$, $$K(4; 6)$$;
   б) $$N(-4; -3)$$, $$M(-1; -6)$$, $$K(1; 2)$$.

Ищем параболу вида $$y=ax^2+bx+c.$$ Подставим координаты данных точек.

а) $$N(-1;1),\ M(2;10),\ K(4;6).$$

Из точки $$N(-1;1)$$ получаем:

$$1=a-b+c.$$

Из точки $$M(2;10)$$:

$$10=4a+2b+c.$$

Из точки $$K(4;6)$$:

$$6=16a+4b+c.$$

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

$$\begin{aligned} 10-1&=(4a+2b+c)-(a-b+c),\\ 9&=3a+3b,\\ 3&=a+b; \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} 6-1&=(16a+4b+c)-(a-b+c),\\ 5&=15a+5b,\\ 1&=3a+b. \end{aligned}$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} a+b&=3,\\ 3a+b&=1. \end{aligned}$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$2a=-2,\quad a=-1.$$

Тогда

$$b=3-a=4.$$

Из $$1=a-b+c$$:

$$1=-1-4+c,\quad c=6.$$

Следовательно,

$$y=-x^2+4x+6.$$

б) $$N(-4;-3),\ M(-1;6),\ K(1;2).$$

Подставим координаты точек:

$$\begin{aligned} -3&=16a-4b+c,\\ 6&=a-b+c,\\ 2&=a+b+c. \end{aligned}$$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$$2-6=(a+b+c)-(a-b+c),$$

$$-4=2b,\quad b=-2.$$

Из второго уравнения:

$$6=a-(-2)+c,\quad a+c=4.$$

Из первого уравнения:

$$-3=16a-4(-2)+c,\quad 16a+c=-11.$$

Вычтем из последнего равенства уравнение $$a+c=4$$:

$$15a=-15,\quad a=-1.$$

Тогда

$$c=4-a=5.$$

Следовательно,

$$y=-x^2-2x+5.$$

Ответ

а) $$y=-x^2+4x+6$$; б) $$y=-x^2-2x+5$$.