Упр.29.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {2x+y+3=7, x-4y+2z=9, 3x+2y-z=-1};
б) {x+y=4, x-z=5, xy+xz+yz=-5};
в) {x-2y+3z=-9, 3x+y-2z=9, 2x-3y-4z=4};
г) {x+y+z=1, x-2y-z=1, x^2+y^2+z^2=13}.

Подробный ответ

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$2x+y+3z=7$$
$$y=7-2x-3z$$
Подставим в остальные уравнения:
$$x-4(7-2x-3z)+2z=9$$
$$x-28+8x+12z+2z=9$$
$$9x+14z=37$$
$$3x+2(7-2x-3z)-z=-1$$
$$3x+14-4x-6z-z=-1$$
$$x+7z=15$$
Из системы
$$\begin{cases}9x+14z=37,\\ x+7z=15\end{cases}$$
получаем $$z=2$$, тогда $$x=1$$, а
$$y=7-2\cdot 1-3\cdot 2=-1.$$
б) Из первых двух уравнений:
$$y=4-x,\qquad x=z+5.$$
Тогда
$$y=4-(z+5)=-1-z.$$
Подставим в третье уравнение:
$$x y+x z+y z=-5$$
$$ (z+5)(-1-z)+(z+5)z+(-1-z)z=-5$$
$$-z^2-6z-5+z^2+5z-z-z^2=-5$$
$$z^2+2z=0$$
$$z(z+2)=0.$$
Отсюда $$z=0$$ или $$z=-2$$.
Если $$z=0$$, то $$x=5,\ y=-1$$.
Если $$z=-2$$, то $$x=3,\ y=1$$.
в) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y-3z-9.$$
Подставим во второе и третье уравнения:
$$3(2y-3z-9)+y-2z=9$$
$$7y-11z=36$$
$$2(2y-3z-9)-3y-4z=4$$
$$y-10z=22.$$
Решим систему
$$\begin{cases}7y-11z=36,\\ y-10z=22.\end{cases}$$
Из второго уравнения $$y=10z+22$$. Подставим:
$$7(10z+22)-11z=36$$
$$59z=-118$$
$$z=-2.$$
Тогда
$$y=10\cdot(-2)+22=2,$$
$$x=2\cdot 2-3\cdot(-2)-9=1.$$
г) Из первых двух уравнений:
$$x=1-y-z,$$
$$1-y-z-2y-z=1,$$
$$2z=-3y,$$
$$z=-\frac{3y}{2}.$$
Тогда
$$x=1-y+\frac{3y}{2}=1+\frac{y}{2}.$$
Подставим в третье уравнение:
$$\left(1+\frac{y}{2}\right)^2+y^2+\left(-\frac{3y}{2}\right)^2=13$$
$$1+y+\frac{y^2}{4}+y^2+\frac{9y^2}{4}=13$$
$$\frac{7y^2}{2}+y-12=0$$
$$7y^2+2y-24=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-24)=676,$$
$$y=\frac{-2\pm 26}{14}.$$
Отсюда $$y=-2$$ или $$y=\frac{12}{7}$$.
Если $$y=-2$$, то $$z=3$$ и $$x=0$$.
Если $$y=\frac{12}{7}$$, то $$z=-\frac{18}{7}$$ и $$x=\frac{13}{7}$$.