Упр.29.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:
   а) $$\begin{cases}2x+y+3=7,\\x-4y+2z=9,\\3x+2y-z=-1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x+y=4,\\x-z=5,\\xy+xz+yz=-5;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}x-2y+3z=-9,\\3x+y-2z=9,\\2x-3y-4z=4;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}x+y+z=1,\\x-2y-z=1,\\x^2+y^2+z^2=13.\end{cases}$$

1. а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

   $$2x+y+3z=7$$

   $$y=7-2x-3z$$

   Подставим в остальные уравнения:

   $$x-4(7-2x-3z)+2z=9$$

   $$x-28+8x+12z+2z=9$$

   $$9x+14z=37$$

   $$3x+2(7-2x-3z)-z=-1$$

   $$3x+14-4x-6z-z=-1$$

   $$x+7z=15$$

   Из системы

   $$\begin{cases}9x+14z=37,\\ x+7z=15\end{cases}$$

   получаем $$z=2$$, тогда $$x=1$$, а

   $$y=7-2\cdot 1-3\cdot 2=-1.$$

2. б) Из первых двух уравнений:

   $$y=4-x,\qquad x=z+5.$$

   Тогда

   $$y=4-(z+5)=-1-z.$$

   Подставим в третье уравнение:

   $$x y+x z+y z=-5$$

   $$(z+5)(-1-z)+(z+5)z+(-1-z)z=-5$$

   $$-z^2-6z-5+z^2+5z-z-z^2=-5$$

   $$z^2+2z=0$$

   $$z(z+2)=0.$$

   Отсюда $$z=0$$ или $$z=-2$$.

   Если $$z=0$$, то $$x=5,\ y=-1$$.

   Если $$z=-2$$, то $$x=3,\ y=1$$.

3. в) Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=2y-3z-9.$$

   Подставим во второе и третье уравнения:

   $$3(2y-3z-9)+y-2z=9$$

   $$7y-11z=36$$

   $$2(2y-3z-9)-3y-4z=4$$

   $$y-10z=22.$$

   Решим систему

   $$\begin{cases}7y-11z=36,\\ y-10z=22.\end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=10z+22$$. Подставим:

   $$7(10z+22)-11z=36$$

   $$59z=-118$$

   $$z=-2.$$

   Тогда

   $$y=10\cdot(-2)+22=2,$$

   $$x=2\cdot 2-3\cdot(-2)-9=1.$$

4. г) Из первых двух уравнений:

   $$x=1-y-z,$$

   $$1-y-z-2y-z=1,$$

   $$2z=-3y,$$

   $$z=-\frac{3y}{2}.$$

   Тогда

   $$x=1-y+\frac{3y}{2}=1+\frac{y}{2}.$$

   Подставим в третье уравнение:

   $$\left(1+\frac{y}{2}\right)^2+y^2+\left(-\frac{3y}{2}\right)^2=13$$

   $$1+y+\frac{y^2}{4}+y^2+\frac{9y^2}{4}=13$$

   $$\frac{7y^2}{2}+y-12=0$$

   $$7y^2+2y-24=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-24)=676,$$

   $$y=\frac{-2\pm 26}{14}.$$

   Отсюда $$y=-2$$ или $$y=\frac{12}{7}$$.

   Если $$y=-2$$, то $$z=3$$ и $$x=0$$.

   Если $$y=\frac{12}{7}$$, то $$z=-\frac{18}{7}$$ и $$x=\frac{13}{7}$$.

Ответ

а) $$\left(1;\,-1;\,2\right)$$;

б) $$\left(3;\,1;\,-2\right),\ \left(5;\,-1;\,0\right)$$;

в) $$\left(1;\,2;\,-2\right)$$;

г) $$\left(0;\,-2;\,3\right),\ \left(\frac{13}{7};\,\frac{12}{7};\,-\frac{18}{7}\right)$$.