Упр.29.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases}\operatorname{ctg}(x)\cdot\sin(2y)=0,\\ \sin(2x)+\cos(y)=0{,}5;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}\cos(x)\cdot\operatorname{tg}(2y)=0,\\ \sin^2(y)-\cos(2x)=1{,}5.\end{cases}$$

а) Рассмотрим первое уравнение системы:

$$\ctg x \cdot \sin 2y=0.$$

Отсюда возможны два случая:

1) $$\ctg x=0,$$ тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sin 2x+\cos y=0{,}5.$$

Так как $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ то

$$\sin 2x=\sin(\pi+2\pi n)=0,$$

следовательно,

$$\cos y=\frac12,$$

откуда

$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 2y=0,$$ тогда

$$2y=\pi k,\quad y=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sin 2x+\cos\frac{\pi k}{2}=0{,}5.$$

Рассмотрим возможные значения $$\cos\frac{\pi k}{2}$$:

• если $$\cos\frac{\pi k}{2}=1,$$ то $$\sin 2x=-\frac12;$$
• если $$\cos\frac{\pi k}{2}=0,$$ то $$\sin 2x=\frac12;$$
• если $$\cos\frac{\pi k}{2}=-1,$$ то $$\sin 2x=\frac32,$$ что невозможно.

Значит, остаются только случаи $$\sin 2x=\frac12$$ и $$\sin 2x=-\frac12.$$ Тогда

$$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n.$$

При этом для $$\cos\frac{\pi k}{2}=1$$ получаем $$k=4m,$$ а для $$\cos\frac{\pi k}{2}=0$$ получаем $$k=2m+1,$$ где $$m\in\mathbb Z.$$

Итак, для пункта а):

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z,$$

$$\left(\frac{\pi}{12}+\pi n;\ \frac{\pi k}{2}\right)\ \text{при}\ k=4m,$$

$$\left(\frac{5\pi}{12}+\pi n;\ \frac{\pi k}{2}\right)\ \text{при}\ k=2m+1,\quad n,m\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим первое уравнение:

$$\sqrt{\cos x}\cdot \tg 2y=0.$$

Так как $$\sqrt{\cos x}$$ определён при $$\cos x\ge 0,$$ то возможны два случая:

1) $$\cos x=0,$$ тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sin^2 y-\cos 2x=1{,}5.$$

При $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ имеем

$$\cos 2x=\cos(\pi+2\pi n)=-1,$$

поэтому

$$\sin^2 y+1=\frac32,$$

$$\sin^2 y=\frac12.$$

Тогда

$$y=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg 2y=0,$$ тогда

$$2y=\pi k,\quad y=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sin^2\frac{\pi k}{2}-\cos 2x=1{,}5.$$

Если $$k$$ чётное, то $$\sin^2\frac{\pi k}{2}=0,$$ и получаем

$$-\cos 2x=\frac32,$$

что невозможно.

Если $$k$$ нечётное, то $$\sin^2\frac{\pi k}{2}=1,$$ и тогда

$$1-\cos 2x=\frac32,$$

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, для пункта б):

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \frac{\pi}{4}+\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z,$$

$$\left(\pm \frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{12}+\pi n;\ \frac{\pi k}{2}\right)\ (k=4m),\ \left(\frac{5\pi}{12}+\pi n;\ \frac{\pi k}{2}\right)\ (k=2m+1),\ n,m\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ \left(\pm \frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$