Упр.29.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}\sin(x)+\cos(y)=1,\\ \sin^2(x)+\cos^2(y)=\frac{1}{2};\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\cos(x)+\cos(2y)=-1,\\ 5\cos(2y)-\cos(x)=-2;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}\cos(x)+\sin(y)=0{,}5,\\ \cos^2(x)+\cos^2(y)=1{,}25;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}2\sin(2x)+3\tg(3y)=-2,\\ 6\sin(2x)-2\tg(3y)=5.\end{cases}$$

1. а)

   $$\begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=\dfrac12. \end{cases}$$

   Возведём первое уравнение в квадрат:

   $$(\sin x+\cos y)^2=1,$$
   $$\sin^2 x+2\sin x\cos y+\cos^2 y=1.$$

   Вычтем из этого уравнения второе:

   $$2\sin x\cos y=\dfrac12,$$
   $$\sin x\cos y=\dfrac14.$$

   Из первого уравнения:

   $$\sin x=1-\cos y.$$

   Подставим в произведение:

   $$(1-\cos y)\cos y=\dfrac14,$$
   $$\cos^2 y-\cos y+\dfrac14=0,$$
   $$(2\cos y-1)^2=0.$$

   $$\cos y=\dfrac12,\qquad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Тогда

   $$\sin x=1-\dfrac12=\dfrac12,$$
   $$x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k.$$

2. б)

   $$\begin{cases} \cos x+\cos 2y=-1,\\ 5\cos 2y-\cos x=-2. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$6\cos 2y=-3,$$
   $$\cos 2y=-\dfrac12.$$

   Тогда

   $$2y=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n.$$

   Из первого уравнения:

   $$\cos x=-1-\cos 2y=-1+\dfrac12=-\dfrac12,$$
   $$x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

3. в)

   $$\begin{cases} \cos x+\sin y=\dfrac12,\\ \cos^2 x+\cos^2 y=\dfrac54. \end{cases}$$

   Возведём первое уравнение в квадрат:

   $$(\cos x+\sin y)^2=\dfrac14,$$
   $$\cos^2 x+2\sin y\cos x+\sin^2 y=\dfrac14.$$

   Вычтем это из второго уравнения, учитывая, что $$\sin^2 y=1-\cos^2 y$$:

   $$2\sin y\cos x=-1,$$
   $$\sin y=-\dfrac{1}{2\cos x}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\cos x-\dfrac{1}{2\cos x}=\dfrac12,$$
   $$2\cos^2 x-\cos x-1=0.$$

   $$D=1+8=9,$$
   $$\cos x=\dfrac{1\pm 3}{4}.$$

   Получаем:

   $$\cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n,$$
   $$\cos x=-\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

   Если $$x=2\pi n,$$ то

   $$\sin y=1,\qquad y=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k.$$

   Если $$\cos x=-\dfrac12,$$ то

   $$\sin y=-\dfrac12,\qquad y=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k.$$

4. г)

   $$\begin{cases} 2\sin 2x+3\tg 3y=-2,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y=5. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$6\sin 2x+9\tg 3y=-6.$$

   Вычтем второе уравнение:

   $$11\tg 3y=-11,$$
   $$\tg 3y=-1.$$

   $$3y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\qquad y=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{3}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2\sin 2x+3(-1)=-2,$$
   $$2\sin 2x=1,$$
   $$\sin 2x=\dfrac12.$$

   $$2x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,$$
   $$x=(-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2}.$$

Ответ

а) $$\left((-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\right);$$
б) $$\left(\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n\right);$$
в) $$\left(\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n;\ (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right),\ \left(2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right);$$
г) $$\left((-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2};\ -\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{3}\right).$$