Упр.29.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {2(x+y)^(1/5)=log_5(25y^2), 3log_5(y^2)-(x+y)^(1/5)=4};
б) {5^(x-y)-3|2y+x|=-1, 2|2y+x|-5^(x-y-1)=3};
в) {3(x+y)^(1/3)=log_2(16x^2), log_2(x^2)+2(x+y)^(1/3)=6};
г) {3^(x-y)-7|2y-x|=2, |2y-x|-3^(x-y-1)=-2}.

1. а)

   Обозначим $$t=\sqrt[5]{x+y}.$$ Тогда система принимает вид
   $$\begin{cases} 2t=\log_5(25y^2),\\ 3\log_5(y^2)-t=4. \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$t=3\log_5(y^2)-4.$$
   Подставим в первое:
   $$2\bigl(3\log_5(y^2)-4\bigr)=\log_5(25y^2).$$
   Так как $$\log_5(25y^2)=2+\log_5(y^2),$$ получаем
   $$6\log_5(y^2)-8=2+\log_5(y^2),$$
   $$5\log_5(y^2)=10,$$
   $$\log_5(y^2)=2,$$
   $$y^2=25,$$
   $$y=\pm 5.$$
   Тогда
   $$t=3\cdot 2-4=2,$$
   значит
   $$\sqrt[5]{x+y}=2,\qquad x+y=32.$$
   При $$y=5$$ имеем $$x=27$$, при $$y=-5$$ имеем $$x=37$$.

   Ответ: $$(27; 5),\ (37; -5).$$

2. б)

   Обозначим $$u=|2y+x|,\quad v=5^{x-y}.$$ Тогда
   $$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-5^{x-y-1}=3. \end{cases}$$
   Так как $$5^{x-y-1}=\dfrac{1}{5}5^{x-y}=\dfrac{v}{5},$$ получаем
   $$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-\dfrac{v}{5}=3. \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$v=3u-1$$. Подставим во второе:
   $$2u-\dfrac{3u-1}{5}=3,$$
   $$10u-3u+1=15,$$
   $$7u=14,$$
   $$u=2.$$
   Тогда
   $$|2y+x|=2,\qquad 2y+x=\pm 2.$$
   Из первого уравнения системы
   $$5^{x-y}=3\cdot 2-1=5,$$
   значит
   $$x-y=1.$$
   Решаем по случаям:
   $$x+2y=2,\quad x-y=1 \Rightarrow y=\frac13,\ x=\frac43;$$
   $$x+2y=-2,\quad x-y=1 \Rightarrow y=-1,\ x=0.$$

   Ответ: $$(0; -1),\ \left(\frac43; \frac13\right).$$

3. в)

   Обозначим $$t=\sqrt[3]{x+y}.$$ Тогда
   $$\begin{cases} 3t=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2t=6. \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$2t=6-\log_2(x^2),\qquad t=3-\frac12\log_2(x^2).$$
   Подставим в первое:
   $$3\left(3-\frac12\log_2(x^2)\right)=\log_2(16x^2).$$
   Так как $$\log_2(16x^2)=4+\log_2(x^2),$$ получаем
   $$9-\frac32\log_2(x^2)=4+\log_2(x^2),$$
   $$\frac52\log_2(x^2)=5,$$
   $$\log_2(x^2)=2,$$
   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
   Тогда из второго уравнения
   $$2t=6-2=4,\qquad t=2,$$
   значит
   $$\sqrt[3]{x+y}=2,\qquad x+y=8.$$
   При $$x=-2$$ получаем $$y=10$$, при $$x=2$$ получаем $$y=6$$.

   Ответ: $$(-2; 10),\ (2; 6).$$

4. г)

   Обозначим $$u=|2y-x|,\quad v=3^{x-y}.$$ Тогда
   $$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-3^{x-y-1}=-2. \end{cases}$$
   Поскольку $$3^{x-y-1}=\dfrac{v}{3},$$ имеем
   $$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-\dfrac{v}{3}=-2. \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$v=7u+2$$. Подставим во второе:
   $$u-\frac{7u+2}{3}=-2,$$
   $$3u-7u-2=-6,$$
   $$-4u=-4,$$
   $$u=1.$$
   Тогда
   $$|2y-x|=1,\qquad 2y-x=\pm 1.$$
   Из первого уравнения системы
   $$3^{x-y}=7\cdot 1+2=9,$$
   значит
   $$x-y=2.$$
   Решаем по случаям:
   $$2y-x=1,\quad x-y=2 \Rightarrow y=3,\ x=5;$$
   $$2y-x=-1,\quad x-y=2 \Rightarrow y=1,\ x=3.$$

   Ответ: $$(5; 3),\ (3; 1).$$