Упр.29.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\left\{\begin{aligned}2(x+y)^{1/5}&=\log_5(25y^2),\\3\log_5(y^2)-(x+y)^{1/5}&=4;\end{aligned}\right.$$
б) $$\left\{\begin{aligned}5^{x-y}-3|2y+x|&=-1,\\2|2y+x|-5^{x-y-1}&=3;\end{aligned}\right.$$
в) $$\left\{\begin{aligned}3(x+y)^{1/3}&=\log_2(16x^2),\\\log_2(x^2)+2(x+y)^{1/3}&=6;\end{aligned}\right.$$
г) $$\left\{\begin{aligned}3^{x-y}-7|2y-x|&=2,\\|2y-x|-3^{x-y-1}&=-2.\end{aligned}\right.$$
а)
Обозначим $$t=\sqrt[5]{x+y}.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} 2t=\log_5(25y^2),\\ 3\log_5(y^2)-t=4. \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$t=3\log_5(y^2)-4.$$
Подставим в первое:
$$2\bigl(3\log_5(y^2)-4\bigr)=\log_5(25y^2).$$
Так как $$\log_5(25y^2)=2+\log_5(y^2),$$ получаем
$$6\log_5(y^2)-8=2+\log_5(y^2),$$
$$5\log_5(y^2)=10,$$
$$\log_5(y^2)=2,$$
$$y^2=25,$$
$$y=\pm 5.$$
Тогда
$$t=3\cdot 2-4=2,$$
значит
$$\sqrt[5]{x+y}=2,\qquad x+y=32.$$
При $$y=5$$ имеем $$x=27$$, при $$y=-5$$ имеем $$x=37$$.Ответ: $$(27; 5),\ (37; -5).$$
б)
Обозначим $$u=|2y+x|,\quad v=5^{x-y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-5^{x-y-1}=3. \end{cases}$$
Так как $$5^{x-y-1}=\dfrac{1}{5}5^{x-y}=\dfrac{v}{5},$$ получаем
$$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-\dfrac{v}{5}=3. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$v=3u-1$$. Подставим во второе:
$$2u-\dfrac{3u-1}{5}=3,$$
$$10u-3u+1=15,$$
$$7u=14,$$
$$u=2.$$
Тогда
$$|2y+x|=2,\qquad 2y+x=\pm 2.$$
Из первого уравнения системы
$$5^{x-y}=3\cdot 2-1=5,$$
значит
$$x-y=1.$$
Решаем по случаям:
$$x+2y=2,\quad x-y=1 \Rightarrow y=\frac13,\ x=\frac43;$$
$$x+2y=-2,\quad x-y=1 \Rightarrow y=-1,\ x=0.$$Ответ: $$(0; -1),\ \left(\frac43; \frac13\right).$$
в)
Обозначим $$t=\sqrt[3]{x+y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} 3t=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2t=6. \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$2t=6-\log_2(x^2),\qquad t=3-\frac12\log_2(x^2).$$
Подставим в первое:
$$3\left(3-\frac12\log_2(x^2)\right)=\log_2(16x^2).$$
Так как $$\log_2(16x^2)=4+\log_2(x^2),$$ получаем
$$9-\frac32\log_2(x^2)=4+\log_2(x^2),$$
$$\frac52\log_2(x^2)=5,$$
$$\log_2(x^2)=2,$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Тогда из второго уравнения
$$2t=6-2=4,\qquad t=2,$$
значит
$$\sqrt[3]{x+y}=2,\qquad x+y=8.$$
При $$x=-2$$ получаем $$y=10$$, при $$x=2$$ получаем $$y=6$$.Ответ: $$(-2; 10),\ (2; 6).$$
г)
Обозначим $$u=|2y-x|,\quad v=3^{x-y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-3^{x-y-1}=-2. \end{cases}$$
Поскольку $$3^{x-y-1}=\dfrac{v}{3},$$ имеем
$$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-\dfrac{v}{3}=-2. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$v=7u+2$$. Подставим во второе:
$$u-\frac{7u+2}{3}=-2,$$
$$3u-7u-2=-6,$$
$$-4u=-4,$$
$$u=1.$$
Тогда
$$|2y-x|=1,\qquad 2y-x=\pm 1.$$
Из первого уравнения системы
$$3^{x-y}=7\cdot 1+2=9,$$
значит
$$x-y=2.$$
Решаем по случаям:
$$2y-x=1,\quad x-y=2 \Rightarrow y=3,\ x=5;$$
$$2y-x=-1,\quad x-y=2 \Rightarrow y=1,\ x=3.$$Ответ: $$(5; 3),\ (3; 1).$$
