Упр.29.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {3^x·(1/3)^(-x+1)·3^(y-2)=729, vx-vy=1};
б) {x^(1/3)+y^(1/3)=5, xy=216};
в) {4^x·0,5^x·0,25^(-y)=512, vx+2vy=5};
г) {x^(1/4)-y^(1/4)=1, v(xy)=4}.

1. а)

   $$3^x\cdot \left(\frac13\right)^{-x+1}\cdot 3^{y-2}=729,$$
   $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1.$$

   $$\left(\frac13\right)^{-x+1}=3^{x-1},$$
   поэтому
   $$3^x\cdot 3^{x-1}\cdot 3^{y-2}=3^6,$$
   $$3^{2x+y-3}=3^6,$$
   $$2x+y=9.$$

   Тогда $$y=9-2x.$$ Подставим во второе уравнение:
   $$\sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1.$$
   Обозначим $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
   $$t-\sqrt{9-2t^2}=1,$$
   $$\sqrt{9-2t^2}=t-1.$$
   Возведём в квадрат:
   $$9-2t^2=t^2-2t+1,$$
   $$3t^2-2t-8=0.$$
   Отсюда
   $$t=\frac{2\pm 10}{6},$$
   значит, $$t=2$$ или $$t=-\frac43.$$ Подходит только $$t=2.$$

   Тогда $$x=t^2=4,$$ $$y=9-2\cdot 4=1.$$

2. б)

   $$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,$$
   $$xy=216.$$

   Пусть $$\sqrt[3]{x}=u,\ \sqrt[3]{y}=v.$$ Тогда
   $$u+v=5,$$
   $$u^3v^3=216,$$
   $$uv=\sqrt[3]{216}=6.$$
   Получаем систему
   $$u+v=5,\quad uv=6.$$

   Тогда $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
   $$t^2-5t+6=0,$$
   $$t=2 \text{ или } t=3.$$
   Значит,
   $$(u,v)=(2,3)\ \text{или}\ (3,2).$$

   Следовательно,
   $$x=2^3=8,\ y=3^3=27$$
   или
   $$x=3^3=27,\ y=2^3=8.$$

3. в)

   $$4^x\cdot 0{,}5^x\cdot 0{,}25^{-y}=512,$$
   $$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5.$$

   Преобразуем первое уравнение:
   $$4^x=(2^2)^x=2^{2x},\quad 0{,}5^x=2^{-x},\quad 0{,}25^{-y}=(2^{-2})^{-y}=2^{2y}.$$
   Тогда
   $$2^{2x}\cdot 2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^9,$$
   $$2^{x+2y}=2^9,$$
   $$x+2y=9.$$
   Значит,
   $$x=9-2y.$$

   Подставим во второе уравнение:
   $$\sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5.$$
   Обозначим $$\sqrt{y}=t,\ t\ge 0.$$ Тогда
   $$\sqrt{9-2t^2}+2t=5,$$
   $$\sqrt{9-2t^2}=5-2t.$$
   Возведём в квадрат:
   $$9-2t^2=25-20t+4t^2,$$
   $$6t^2-20t+16=0,$$
   $$3t^2-10t+8=0.$$
   Отсюда
   $$t=\frac{10\pm 2}{6},$$
   $$t=2 \text{ или } t=\frac43.$$

   Если $$t=2,$$ то $$y=4,$$ $$x=9-2\cdot 4=1.$$
   Если $$t=\frac43,$$ то $$y=\frac{16}{9},$$ $$x=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9}.$$

4. г)

   $$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=1,$$
   $$\sqrt{xy}=4.$$

   Из второго уравнения:
   $$xy=16,$$
   $$y=\frac{16}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{\frac{16}{x}}=1.$$

   Обозначим $$\sqrt[4]{x}=t,\ t\ge 0.$$ Тогда
   $$\sqrt[4]{\frac{16}{x}}=\frac{2}{t},$$
   и получаем
   $$t-\frac{2}{t}=1.$$
   Умножим на $$t$$:
   $$t^2-t-2=0,$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$
   Так как $$t\ge 0,$$ то $$t=2.$$

   Тогда $$x=t^4=16,$$ $$y=\frac{16}{16}=1.$$

Ответ

а) $$\left(4;\,1\right)$$;
б) $$\left(8;\,27\right),\ \left(27;\,8\right)$$;
в) $$\left(1;\,4\right),\ \left(\frac{49}{9};\,\frac{16}{9}\right)$$;
г) $$\left(16;\,1\right)$$.