Упр.29.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}3^x\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-x+1}\cdot3^{y-2}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,\\ xy=216;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}4^x\cdot0{,}5^x\cdot0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=1,\\ \sqrt{xy}=4.\end{cases}$$
а)
$$3^x\cdot \left(\frac13\right)^{-x+1}\cdot 3^{y-2}=729,$$
$$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1.$$$$\left(\frac13\right)^{-x+1}=3^{x-1},$$
поэтому
$$3^x\cdot 3^{x-1}\cdot 3^{y-2}=3^6,$$
$$3^{2x+y-3}=3^6,$$
$$2x+y=9.$$Тогда $$y=9-2x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1.$$
Обозначим $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t-\sqrt{9-2t^2}=1,$$
$$\sqrt{9-2t^2}=t-1.$$
Возведём в квадрат:
$$9-2t^2=t^2-2t+1,$$
$$3t^2-2t-8=0.$$
Отсюда
$$t=\frac{2\pm 10}{6},$$
значит, $$t=2$$ или $$t=-\frac43.$$ Подходит только $$t=2.$$Тогда $$x=t^2=4,$$ $$y=9-2\cdot 4=1.$$
б)
$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,$$
$$xy=216.$$Пусть $$\sqrt[3]{x}=u,\ \sqrt[3]{y}=v.$$ Тогда
$$u+v=5,$$
$$u^3v^3=216,$$
$$uv=\sqrt[3]{216}=6.$$
Получаем систему
$$u+v=5,\quad uv=6.$$Тогда $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=3.$$
Значит,
$$(u,v)=(2,3)\ \text{или}\ (3,2).$$Следовательно,
$$x=2^3=8,\ y=3^3=27$$
или
$$x=3^3=27,\ y=2^3=8.$$в)
$$4^x\cdot 0{,}5^x\cdot 0{,}25^{-y}=512,$$
$$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5.$$Преобразуем первое уравнение:
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x},\quad 0{,}5^x=2^{-x},\quad 0{,}25^{-y}=(2^{-2})^{-y}=2^{2y}.$$
Тогда
$$2^{2x}\cdot 2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^9,$$
$$2^{x+2y}=2^9,$$
$$x+2y=9.$$
Значит,
$$x=9-2y.$$Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5.$$
Обозначим $$\sqrt{y}=t,\ t\ge 0.$$ Тогда
$$\sqrt{9-2t^2}+2t=5,$$
$$\sqrt{9-2t^2}=5-2t.$$
Возведём в квадрат:
$$9-2t^2=25-20t+4t^2,$$
$$6t^2-20t+16=0,$$
$$3t^2-10t+8=0.$$
Отсюда
$$t=\frac{10\pm 2}{6},$$
$$t=2 \text{ или } t=\frac43.$$Если $$t=2,$$ то $$y=4,$$ $$x=9-2\cdot 4=1.$$
Если $$t=\frac43,$$ то $$y=\frac{16}{9},$$ $$x=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9}.$$г)
$$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=1,$$
$$\sqrt{xy}=4.$$Из второго уравнения:
$$xy=16,$$
$$y=\frac{16}{x}.$$
Подставим в первое:
$$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{\frac{16}{x}}=1.$$Обозначим $$\sqrt[4]{x}=t,\ t\ge 0.$$ Тогда
$$\sqrt[4]{\frac{16}{x}}=\frac{2}{t},$$
и получаем
$$t-\frac{2}{t}=1.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-t-2=0,$$
$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$
Так как $$t\ge 0,$$ то $$t=2.$$Тогда $$x=t^4=16,$$ $$y=\frac{16}{16}=1.$$
Ответ
а) $$\left(4;\,1\right)$$;
б) $$\left(8;\,27\right),\ \left(27;\,8\right)$$;
в) $$\left(1;\,4\right),\ \left(\frac{49}{9};\,\frac{16}{9}\right)$$;
г) $$\left(16;\,1\right)$$.
