Упр.29.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\left\{\begin{aligned}v(x-y)+v(x+3y)&=4,\\2x-y&=4;\end{aligned}\right.$$
   б) $$\left\{\begin{aligned}v(x-3)&=v(4-y)-v(3x+y+1),\\2x+y&=3;\end{aligned}\right.$$
   в) $$\left\{\begin{aligned}v(2x+y)+v(6x-3y)&=2,\\6x+2y&=10;\end{aligned}\right.$$
   г) $$\left\{\begin{aligned}v(4x-7)&=v(-1-x-y)-v(2x+y),\\3x+y&=2.\end{aligned}\right.$$

1. а)

   Из второго уравнения:
   $$2x-y=4,$$
   $$y=2x-4.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$\sqrt{x-y}+\sqrt{x+3y}=4$$
   $$\sqrt{x-2x+4}+\sqrt{x+3(2x-4)}=4$$
   $$\sqrt{4-x}+\sqrt{7x-12}=4.$$
   Возведём в квадрат:
   $$4-x+7x-12+2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=16$$
   $$2\sqrt{28x-48-7x^2+12x}=24-6x$$
   $$\sqrt{40x-48-7x^2}=12-3x.$$
   Снова возведём в квадрат:
   $$40x-48-7x^2=144-72x+9x^2$$
   $$16x^2-112x+192=0$$
   $$x^2-7x+12=0$$
   $$(x-3)(x-4)=0.$$
   Тогда $$x=3$$ или $$x=4$$. Найдём $$y$$:
   $$y=2x-4.$$
   При $$x=3$$ получаем $$y=2$$, при $$x=4$$ получаем $$y=4$$.

2. б)

   Из второго уравнения:
   $$2x+y=3,$$
   $$y=3-2x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$\sqrt{x-3}=\sqrt{4-y}-\sqrt{3x+y+1}$$
   $$\sqrt{x-3}=\sqrt{4-(3-2x)}-\sqrt{3x+3-2x+1}$$
   $$\sqrt{x-3}=\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}.$$
   Перенесём:
   $$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+4}=\sqrt{1+2x}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$x-3+2\sqrt{(x-3)(x+4)}+x+4=1+2x$$
   $$2\sqrt{x^2+x-12}=0$$
   $$x^2+x-12=0$$
   $$(x+4)(x-3)=0.$$
   Тогда $$x=-4$$ или $$x=3$$. Найдём $$y$$:
   $$y=3-2x.$$
   При $$x=-4$$ получаем $$y=11$$, при $$x=3$$ получаем $$y=-3$$.

3. в)

   Из второго уравнения:
   $$6x+2y=10,$$
   $$3x+y=5,$$
   $$y=5-3x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$\sqrt{2x+y}+\sqrt{6x-3y}=2$$
   $$\sqrt{2x+5-3x}+\sqrt{6x-3(5-3x)}=2$$
   $$\sqrt{5-x}+\sqrt{15x-15}=2.$$
   Перенесём и возведём в квадрат:
   $$5-x+15x-15+2\sqrt{(5-x)(15x-15)}=4$$
   $$2\sqrt{75x-75-15x^2+15x}=14-14x$$
   $$\sqrt{90x-15x^2-75}=7-7x.$$
   Возведём в квадрат:
   $$90x-15x^2-75=49-98x+49x^2$$
   $$64x^2-188x+124=0$$
   $$16x^2-47x+31=0.$$
   Тогда
   $$D=47^2-4\cdot16\cdot31=225,$$
   $$x_1=\frac{47-15}{32}=1,\qquad x_2=\frac{47+15}{32}=\frac{31}{16}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=5-3x.$$
   При $$x=1$$ получаем $$y=2$$, при $$x=\frac{31}{16}$$ получаем $$y=-\frac{13}{16}$$.

4. г)

   Из второго уравнения:
   $$3x+y=2,$$
   $$y=2-3x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$\sqrt{4x-7}=\sqrt{-1-x-y}-\sqrt{2x+y}$$
   $$\sqrt{4x-7}=\sqrt{-1-x-(2-3x)}-\sqrt{2x+2-3x}$$
   $$\sqrt{4x-7}=\sqrt{2x-3}-\sqrt{2-x}.$$
   Перенесём:
   $$\sqrt{4x-7}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2x-3}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$4x-7+2\sqrt{(4x-7)(2-x)}+2-x=2x-3$$
   $$2\sqrt{8x-4x^2-14+7x}=2-x$$
   $$4(15x-4x^2-14)=4-4x+x^2$$
   $$60x-16x^2-56=4-4x+x^2$$
   $$17x^2-64x+60=0.$$
   Тогда
   $$D=64^2-4\cdot17\cdot60=16,$$
   $$x_1=\frac{64-4}{34}=\frac{30}{17},\qquad x_2=\frac{64+4}{34}=2.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=2-3x.$$
   При $$x=\frac{30}{17}$$ получаем $$y=-\frac{56}{17}$$, при $$x=2$$ получаем $$y=-4$$.

Ответ

а) $$(3;2),\ (4;4)$$; б) $$(-4;11),\ (3;-3)$$; в) $$(1;2),\ \left(\frac{31}{16};-\frac{13}{16}\right)$$; г) $$\left(\frac{30}{17};-\frac{56}{17}\right),\ (2;-4)$$.