Упр.29.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) прямую, заданную уравнением Re z = -1;
б) отрезок [-1; -1 + 4i];
в) прямую, заданную уравнением Im z = 2;
г) отрезок [-1; 2i]. Решите систему уравнений:
а) {v(x+1)-y=2, log_7(4-x)=y};
б) {v(x+4)=2+y, log_5(6-x)=y-1}.
Пусть $$w=u+iv,$$ тогда
$$z=\frac{1}{w}=\frac{u-iv}{u^2+v^2}.$$
а) Если $$\operatorname{Re} z=-1,$$ то
$$\frac{u}{u^2+v^2}=-1,$$
откуда
$$u^2+u+v^2=0.$$
Дополняем до квадрата:
$$\left(u+\frac12\right)^2+v^2=\frac14.$$
Это окружность с центром $$\left(-\frac12,0\right)$$ и радиусом $$\frac12.$$ Точка $$z=0$$ не входит в образ, так как при $$w=0$$ функция $$z=\frac1w$$ не определена.
б) Для отрезка $$[-1;\,-1+4i]$$ имеем
$$w=-1+ti,\quad 0\le t\le 4.$$
Тогда
$$z=\frac{1}{-1+ti}=\frac{-1-ti}{1+t^2},$$
то есть
$$u=-\frac{1}{1+t^2},\qquad v=-\frac{t}{1+t^2}.$$
Исключая параметр, получаем
$$u^2+u+v^2=0,$$
или
$$\left(u+\frac12\right)^2+v^2=\frac14.$$
При $$t=0$$ получаем точку $$(-1,0),$$ при $$t=4$$ — точку
$$\frac{1}{-1+4i}=\frac{-1-4i}{17}.$$
Значит, образ — дуга этой окружности между точками $$(-1,0)$$ и $$\left(-\frac1{17},-\frac4{17}\right).$$
в) Если $$\operatorname{Im} z=2,$$ то
$$-\frac{v}{u^2+v^2}=2,$$
откуда
$$u^2+v^2+\frac{v}{2}=0.$$
Дополняем до квадрата:
$$u^2+\left(v+\frac14\right)^2=\frac1{16}.$$
Это окружность с центром $$\left(0,-\frac14\right)$$ и радиусом $$\frac14,$$ без точки $$0.$$
г) Для отрезка $$[-1;\,2i]$$ возьмём параметризацию
$$w=-1+t(1+2i),\quad 0\le t\le 1.$$
Тогда образ лежит на окружности, проходящей через точки
$$\frac1{-1}=-1,\qquad \frac1{2i}=-\frac{i}{2}.$$
Следовательно, образ — дуга окружности между точками $$-1$$ и $$-\frac{i}{2}.$$
Решим систему
$$ \begin{cases} \sqrt{x+1}-y=2,\\ \log_7(4-x)=y \end{cases} $$
Из первого уравнения
$$y=\sqrt{x+1}-2,$$
из второго
$$y=\log_7(4-x).$$
Приравниваем:
$$\sqrt{x+1}-2=\log_7(4-x).$$
Проверим значение $$x=3$$:
$$\sqrt{3+1}-2=2-2=0,$$
$$\log_7(4-3)=\log_7 1=0.$$
Получаем $$y=0.$$
б)
$$ \begin{cases} \sqrt{x+4}=2+y,\\ \log_5(6-x)=y-1 \end{cases} $$
Из первого уравнения
$$y=\sqrt{x+4}-2,$$
из второго
$$y=\log_5(6-x)+1.$$
Приравниваем:
$$\sqrt{x+4}-2=\log_5(6-x)+1.$$
Проверим $$x=5$$:
$$\sqrt{5+4}-2=3-2=1,$$
$$\log_5(6-5)+1=\log_5 1+1=1.$$
Тогда $$y=1.$$
Ответ
а) окружность $$\left(u+\frac12\right)^2+v^2=\frac14,$$ без точки $$0$$;
б) дуга этой окружности между точками $$(-1,0)$$ и $$\left(-\frac1{17},-\frac4{17}\right)$$;
в) окружность $$u^2+\left(v+\frac14\right)^2=\frac1{16},$$ без точки $$0$$;
г) дуга окружности между точками $$-1$$ и $$-\frac{i}{2}$$;
а) $$\left(3;0\right)$$;
б) $$\left(5;1\right)$$.
