Упр.29.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$z_1=(3i-1)(2+5i);$$
в) $$z_3=(2i-1)^2(2+5i);$$
б) $$z_2=\frac{2+3i}{3i-4};$$
г) $$z_4=\frac{(2-3i)^2}{4-3i}.$$
- Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
а) $$\begin{cases}6x^{1/4}-4y^{1/3}=6,\\3y^{1/3}-4x^{1/4}=-3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\log_5(x)+\lg(y)=5,\\3\log_5(x)-5\lg(y)=17;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}5vx+2vy=9,\\3vx-4vy=-5;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}(x)-3\log_{\frac{1}{3}}(y)=1,\\2\log_{\frac{1}{3}}(x)+5\log_{\frac{1}{3}}(y)=-9.\end{cases}$$
а)
$$z_1=(3i-1)(2+5i)=6i+15i^2-2-5i=-17+i$$
б)
$$z_2=\frac{2+3i}{3i-4}=\frac{(2+3i)(3i+4)}{(3i-4)(3i+4)}$$
$$=\frac{6i+8+9i^2+12i}{-16-9}=\frac{-1+18i}{-25}=\frac{1-18i}{25}$$
в)
$$z_3=(2i-1)^2(2+5i)=(-4-4i+1)(2+5i)=(-3-4i)(2+5i)$$
$$=-6-15i-8i-20i^2=14-23i$$
г)
$$z_4=\frac{(2-3i)^2}{4-3i}=\frac{4-12i+9i^2}{4-3i}=\frac{-5-12i}{4-3i}$$
$$=\frac{(-5-12i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\frac{-20-15i-48i-36i^2}{25}$$
$$=\frac{16-63i}{25}$$
а)
$$\begin{cases} 6\sqrt[4]{x}-4\sqrt[3]{y}=6,\\ 3\sqrt[3]{y}-4\sqrt[4]{x}=-3 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:
$$\begin{cases} 12\sqrt[4]{x}-8\sqrt[3]{y}=12,\\ 9\sqrt[3]{y}-12\sqrt[4]{x}=-9 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$\sqrt[3]{y}=3,\quad y=27.$$
Подставим в первое уравнение:
$$6\sqrt[4]{x}-4\cdot 3=6$$
$$6\sqrt[4]{x}=18,\quad \sqrt[4]{x}=3,\quad x=81.$$
б)
$$\begin{cases} \log_5 x+\lg y=5,\\ 3\log_5 x-5\lg y=17 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$:
$$\begin{cases} 5\log_5 x+5\lg y=25,\\ 3\log_5 x-5\lg y=17 \end{cases}$$
Сложим:
$$8\log_5 x=42,\quad \log_5 x=\frac{21}{4}$$
$$x=5^{21/4}=3125\sqrt[4]{5}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5\cdot \frac{21}{4}+\lg y=5$$
$$\lg y=-\frac{1}{4},\quad y=10^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{10}}.$$
в)
$$\begin{cases} 5\sqrt{x}+2\sqrt{y}=9,\\ 3\sqrt{x}-4\sqrt{y}=-5 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$\begin{cases} 10\sqrt{x}+4\sqrt{y}=18,\\ 3\sqrt{x}-4\sqrt{y}=-5 \end{cases}$$
Сложим:
$$13\sqrt{x}=13,\quad \sqrt{x}=1,\quad x=1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5+2\sqrt{y}=9$$
$$2\sqrt{y}=4,\quad \sqrt{y}=2,\quad y=4.$$
г)
$$\begin{cases} \log_{1/3}x-3\log_{1/3}y=1,\\ 2\log_{1/3}x+5\log_{1/3}y=-9 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$3$$:
$$\begin{cases} 5\log_{1/3}x-15\log_{1/3}y=5,\\ 6\log_{1/3}x+15\log_{1/3}y=-27 \end{cases}$$
Сложим:
$$11\log_{1/3}x=-22,\quad \log_{1/3}x=-2$$
$$x=\left(\frac13\right)^{-2}=9.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-2-3\log_{1/3}y=1$$
$$-3\log_{1/3}y=3,\quad \log_{1/3}y=-1$$
$$y=\left(\frac13\right)^{-1}=3.$$
Ответ
$$z_1=-17+i,\quad z_2=\frac{1-18i}{25},\quad z_3=14-23i,\quad z_4=\frac{16-63i}{25}$$
$$(81;27),\quad \left(3125\sqrt[4]{5};\frac{1}{\sqrt[4]{10}}\right),\quad (1;4),\quad (9;3)$$
