Упр.29.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) z_1 = (3i — 1)(2 + 5i); в) z_3 = (2i — 1)^2 (2 + 5i);
б) z_2 = (2 + 3i) / (3i — 4); г) z_4 = ((2 — 3i)^2 / (4 — 3i)). Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
а) {6x^(1/4)-4y^(1/3)=6, 3y^(1/3)-4x^(1/4)=-3};
б) {log_5(x)+lg(y)=5, 3log_5(x)-5lg(y)=17};
в) {5vx+2vy=9, 3vx-4vy=-5};
г) {log_(1/3)(x)-3log_(1/3)(y)=1, 2log_(1/3)(x)+5log_(1/3)(y)=-9}.
а)
$$ z_1=(3i-1)(2+5i)=6i+15i^2-2-5i=-17+i $$
б)
$$ z_2=\frac{2+3i}{3i-4}=\frac{(2+3i)(3i+4)}{(3i-4)(3i+4)} $$
$$ =\frac{6i+8+9i^2+12i}{-16-9}=\frac{-1+18i}{-25}=\frac{1-18i}{25} $$
в)
$$ z_3=(2i-1)^2(2+5i)=(-4-4i+1)(2+5i)=(-3-4i)(2+5i) $$
$$ =-6-15i-8i-20i^2=14-23i $$
г)
$$ z_4=\frac{(2-3i)^2}{4-3i}=\frac{4-12i+9i^2}{4-3i}=\frac{-5-12i}{4-3i} $$
$$ =\frac{(-5-12i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\frac{-20-15i-48i-36i^2}{25} $$
$$ =\frac{16-63i}{25} $$
а)
$$ \begin{cases} 6\sqrt[4]{x}-4\sqrt[3]{y}=6,\\ 3\sqrt[3]{y}-4\sqrt[4]{x}=-3 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $2$, второе — на $3$:
$$ \begin{cases} 12\sqrt[4]{x}-8\sqrt[3]{y}=12,\\ 9\sqrt[3]{y}-12\sqrt[4]{x}=-9 \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ \sqrt[3]{y}=3,\quad y=27. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 6\sqrt[4]{x}-4\cdot 3=6 $$
$$ 6\sqrt[4]{x}=18,\quad \sqrt[4]{x}=3,\quad x=81. $$
б)
$$ \begin{cases} \log_5 x+\lg y=5,\\ 3\log_5 x-5\lg y=17 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $5$:
$$ \begin{cases} 5\log_5 x+5\lg y=25,\\ 3\log_5 x-5\lg y=17 \end{cases} $$
Сложим:
$$ 8\log_5 x=42,\quad \log_5 x=\frac{21}{4} $$
$$ x=5^{21/4}=3125\sqrt[4]{5}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 5\cdot \frac{21}{4}+\lg y=5 $$
$$ \lg y=-\frac{1}{4},\quad y=10^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{10}}. $$
в)
$$ \begin{cases} 5\sqrt{x}+2\sqrt{y}=9,\\ 3\sqrt{x}-4\sqrt{y}=-5 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $2$:
$$ \begin{cases} 10\sqrt{x}+4\sqrt{y}=18,\\ 3\sqrt{x}-4\sqrt{y}=-5 \end{cases} $$
Сложим:
$$ 13\sqrt{x}=13,\quad \sqrt{x}=1,\quad x=1. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 5+2\sqrt{y}=9 $$
$$ 2\sqrt{y}=4,\quad \sqrt{y}=2,\quad y=4. $$
г)
$$ \begin{cases} \log_{1/3}x-3\log_{1/3}y=1,\\ 2\log_{1/3}x+5\log_{1/3}y=-9 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $5$, второе — на $3$:
$$ \begin{cases} 5\log_{1/3}x-15\log_{1/3}y=5,\\ 6\log_{1/3}x+15\log_{1/3}y=-27 \end{cases} $$
Сложим:
$$ 11\log_{1/3}x=-22,\quad \log_{1/3}x=-2 $$
$$ x=\left(\frac13\right)^{-2}=9. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ -2-3\log_{1/3}y=1 $$
$$ -3\log_{1/3}y=3,\quad \log_{1/3}y=-1 $$
$$ y=\left(\frac13\right)^{-1}=3. $$
Ответ
$$ z_1=-17+i,\quad z_2=\frac{1-18i}{25},\quad z_3=14-23i,\quad z_4=\frac{16-63i}{25} $$
$$ (81;27),\quad \left(3125\sqrt[4]{5};\frac{1}{\sqrt[4]{10}}\right),\quad (1;4),\quad (9;3) $$
