Упр.28.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) ноль сбоев сигнала; г) 4 сбоя;
б) два сбоя; д) не ноль и не два сбоя;
в) не более двух сбоев; е) более трёх сбоев. Решите уравнение:
а) log_3(4x-1)+log_3(4x+1)=1;
б) log_12(x)+log_12(x+1)=1;
в) log_5(5x-2)+log_5(5x+2)=1;
г) lg(x)+lg(x+3)=1.
Пусть вероятность сбоя при одном исходящем звонке равна $$p=0{,}002,$$ тогда $$q=1-p=0{,}998.$$
Число звонков $$n=1000,$$ поэтому математическое ожидание числа сбоев:
$$a=np=1000\cdot 0{,}002=2.$$
Используем формулу Пуассона:
$$P(k)=\frac{a^k}{k!}e^{-a}=\frac{2^k}{k!}e^{-2}.$$
Тогда:
$$P(0)=\frac{2^0}{0!}e^{-2}=e^{-2}\approx 0{,}135,$$
$$P(1)=\frac{2^1}{1!}e^{-2}=2e^{-2}\approx 0{,}271,$$
$$P(2)=\frac{2^2}{2!}e^{-2}=2e^{-2}\approx 0{,}271,$$
$$P(3)=\frac{2^3}{3!}e^{-2}=\frac{4}{3}e^{-2}\approx 0{,}180,$$
$$P(4)=\frac{2^4}{4!}e^{-2}=\frac{2}{3}e^{-2}\approx 0{,}090.$$
Теперь найдём требуемые вероятности:
а) ноль сбоев:
$$P(0)\approx 0{,}135.$$
б) два сбоя:
$$P(2)\approx 0{,}271.$$
в) не более двух сбоев:
$$P(0)+P(1)+P(2)\approx 0{,}135+0{,}271+0{,}271=0{,}677.$$
г) 4 сбоя:
$$P(4)\approx 0{,}090.$$
д) не ноль и не два сбоя:
$$1-P(0)-P(2)\approx 1-0{,}135-0{,}271=0{,}594.$$
е) более трёх сбоев:
$$1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)\approx 1-(0{,}135+0{,}271+0{,}271+0{,}180)=0{,}143.$$
Решим уравнения.
а)
$$\log_3(4x-1)+\log_3(4x+1)=1$$
$$\log_3\bigl((4x-1)(4x+1)\bigr)=\log_3 3$$
$$16x^2-1=3$$
$$16x^2=4$$
$$x^2=\frac14,\quad x=\pm \frac12.$$
ОДЗ:
$$4x-1>0,\quad x>\frac14;$$
$$4x+1>0,\quad x>-\frac14.$$
Подходит только $$x=\frac12.$$
б)
$$\log_{12}x+\log_{12}(x+1)=1$$
$$\log_{12}\bigl(x(x+1)\bigr)=\log_{12}12$$
$$x^2+x=12$$
$$x^2+x-12=0$$
$$D=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем $$x_1=-4,$$ $$x_2=3.$$
ОДЗ: $$x>0,$$ значит подходит только $$x=3.$$
в)
$$\log_5(5x-2)+\log_5(5x+2)=1$$
$$\log_5\bigl((5x-2)(5x+2)\bigr)=\log_5 5$$
$$25x^2-4=5$$
$$25x^2=9$$
$$x^2=\frac{9}{25},\quad x=\pm \frac35.$$
ОДЗ:
$$5x-2>0,\quad x>\frac25;$$
$$5x+2>0,\quad x>-\frac25.$$
Подходит только $$x=\frac35.$$
г)
$$\lg x+\lg(x+3)=1$$
$$\lg\bigl(x(x+3)\bigr)=\lg 10$$
$$x^2+3x=10$$
$$x^2+3x-10=0$$
$$D=9+40=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2}.$$
Получаем $$x_1=-5,$$ $$x_2=2.$$
ОДЗ: $$x>0,$$ $$x+3>0,$$ значит подходит только $$x=2.$$
Ответ
а) $$0{,}135$$; б) $$0{,}271$$; в) $$0{,}677$$; г) $$0{,}090$$; д) $$0{,}594$$; е) $$0{,}143$$.
а) $$\frac12$$; б) $$3$$; в) $$\frac35$$; г) $$2$$.
