Упр.28.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Вероятность пропажи одной коробки при транспортировке в общей партии из большого числа коробок оценивается в 0,4 %. Оцените вероятность того, что при транспортировке 1000 партий товара пропадёт: а) ноль коробок; б) одна коробка; в) не более двух коробок; г) две коробки; д) не одна коробки; е) более трёх коробок.
- Решите уравнение: а) $$\log_{x-5}(x-2)=\log_{x-5}(3x-10)$$; б) $$\log_{3x-1}\left(\frac{x-2}{x-1}\right)=\log_{3x-1}\left(\frac{2x+1}{5x-1}\right)$$; в) $$\log_{2x-3}(4x-1)=\log_{2x-3}(2x+3)$$; г) $$\log_{x-3}\left(\frac{3x-2}{x+2}\right)=\log_{x-3}\left(\frac{5x+1}{x+9}\right)$$.
Обозначим вероятность пропажи одной коробки через $$p=0{,}004,$$ тогда $$q=1-p=0{,}996.$$
Так как число партий большое, используем формулу Пуассона:
$$P(k)=\frac{a^k}{k!}e^{-a}, \qquad a=np=1000\cdot 0{,}004=4.$$
Тогда:
$$P(0)=\frac{4^0}{0!}e^{-4}=e^{-4}\approx 0{,}0183,$$
$$P(1)=\frac{4^1}{1!}e^{-4}=4e^{-4}\approx 0{,}0733,$$
$$P(2)=\frac{4^2}{2!}e^{-4}=8e^{-4}\approx 0{,}1465,$$
$$P(3)=\frac{4^3}{3!}e^{-4}=\frac{32}{3}e^{-4}\approx 0{,}1954.$$
Тогда:
а) вероятность того, что пропадёт ноль коробок:
$$P(0)\approx 0{,}0183.$$
б) вероятность того, что пропадёт одна коробка:
$$P(1)\approx 0{,}0733.$$
в) вероятность того, что пропадёт не более двух коробок:
$$P(0)+P(1)+P(2)\approx 0{,}0183+0{,}0733+0{,}1465=0{,}2381.$$
г) вероятность того, что пропадёт две коробки:
$$P(2)\approx 0{,}1465.$$
д) вероятность того, что пропадёт не одна коробка:
$$1-P(1)\approx 1-0{,}0733=0{,}9267.$$
е) вероятность того, что пропадёт более трёх коробок:
$$1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)\approx 1-0{,}0183-0{,}0733-0{,}1465-0{,}1954=0{,}5665.$$
Решим уравнения.
а)
$$\log_{x-5}(x-2)=\log_{x-5}(3x-10).$$
При одинаковых основаниях получаем:
$$x-2=3x-10,$$
$$2x=8,$$
$$x=4.$$
Проверим ОДЗ:
$$x-2>0,\quad x-5>0,\quad x-5\ne 1.$$
Отсюда $$x>5,$$ значит $$x=4$$ не подходит. Корней нет.
б)
$$\log_{3x-1}\frac{x-2}{x-1}=\log_{3x-1}\frac{2x+1}{5x-1}.$$
Тогда
$$\frac{x-2}{x-1}=\frac{2x+1}{5x-1}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$\left(x-2\right)\left(5x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(x-1\right),$$
$$5x^2-11x+2=2x^2-x-1,$$
$$3x^2-10x+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{1}{3},\qquad x_2=3.$$
Проверка ОДЗ даёт, что подходит только $$x=3.$$
в)
$$\log_{2x-3}(4x-1)=\log_{2x-3}(2x+3).$$
Следовательно,
$$4x-1=2x+3,$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$
Но по ОДЗ должно быть $$2x-3>0,$$ то есть $$x>\frac{3}{2},$$ и основание не должно равняться $$1$$. При $$x=2$$ основание равно $$1$$, значит корень не подходит. Корней нет.
г)
$$\log_{x-3}\frac{3x-2}{x+2}=\log_{x-3}\frac{5x+1}{x+9}.$$
Тогда
$$\frac{3x-2}{x+2}=\frac{5x+1}{x+9}.$$
Перемножим:
$$\left(3x-2\right)\left(x+9\right)=\left(5x+1\right)\left(x+2\right),$$
$$3x^2+25x-18=5x^2+11x+2,$$
$$2x^2-14x+20=0,$$
$$x^2-7x+10=0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0.$$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=5.$$
По ОДЗ подходит только $$x=5.$$
Ответ
а) $$0{,}0183$$; б) $$0{,}0733$$; в) $$0{,}2381$$; г) $$0{,}1465$$; д) $$0{,}9267$$; е) $$0{,}5665$$; а) корней нет; б) $$3$$; в) корней нет; г) $$5$$.
