Упр.28.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ноль коробок;
б) одна коробка;
в) не более двух коробок;
г) две коробки;
д) не одна коробки;
е) более трёх коробок. Решите уравнение:
а) log_(x-5)(x-2)=log_(x-5)(3x-10);
б) log_(3x-1)((x-2)/(x-1))=log_(3x-1)((2x+1)/(5x-1));
в) log_(2x-3)(4x-1)=log_(2x-3)(2x+3);
г) log_(x-3)((3x-2)/(x+2))=log_(x-3)((5x+1)/(x+9)).

Обозначим вероятность пропажи одной коробки через $$p=0{,}004,$$ тогда $$q=1-p=0{,}996.$$

Так как число партий большое, используем формулу Пуассона:

$$P(k)=\frac{a^k}{k!}e^{-a}, \qquad a=np=1000\cdot 0{,}004=4.$$

Тогда:

$$P(0)=\frac{4^0}{0!}e^{-4}=e^{-4}\approx 0{,}0183,$$

$$P(1)=\frac{4^1}{1!}e^{-4}=4e^{-4}\approx 0{,}0733,$$

$$P(2)=\frac{4^2}{2!}e^{-4}=8e^{-4}\approx 0{,}1465,$$

$$P(3)=\frac{4^3}{3!}e^{-4}=\frac{32}{3}e^{-4}\approx 0{,}1954.$$

Тогда:

а) вероятность того, что пропадёт ноль коробок:

$$P(0)\approx 0{,}0183.$$

б) вероятность того, что пропадёт одна коробка:

$$P(1)\approx 0{,}0733.$$

в) вероятность того, что пропадёт не более двух коробок:

$$P(0)+P(1)+P(2)\approx 0{,}0183+0{,}0733+0{,}1465=0{,}2381.$$

г) вероятность того, что пропадёт две коробки:

$$P(2)\approx 0{,}1465.$$

д) вероятность того, что пропадёт не одна коробка:

$$1-P(1)\approx 1-0{,}0733=0{,}9267.$$

е) вероятность того, что пропадёт более трёх коробок:

$$1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)\approx 1-0{,}0183-0{,}0733-0{,}1465-0{,}1954=0{,}5665.$$

Решим уравнения.

а)

$$\log_{x-5}(x-2)=\log_{x-5}(3x-10).$$

При одинаковых основаниях получаем:

$$x-2=3x-10,$$

$$2x=8,$$

$$x=4.$$

Проверим ОДЗ:

$$x-2>0,\quad x-5>0,\quad x-5\ne 1.$$

Отсюда $$x>5,$$ значит $$x=4$$ не подходит. Корней нет.

б)

$$\log_{3x-1}\frac{x-2}{x-1}=\log_{3x-1}\frac{2x+1}{5x-1}.$$

Тогда

$$\frac{x-2}{x-1}=\frac{2x+1}{5x-1}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\left(x-2\right)\left(5x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(x-1\right),$$

$$5x^2-11x+2=2x^2-x-1,$$

$$3x^2-10x+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1}{3},\qquad x_2=3.$$

Проверка ОДЗ даёт, что подходит только $$x=3.$$

в)

$$\log_{2x-3}(4x-1)=\log_{2x-3}(2x+3).$$

Следовательно,

$$4x-1=2x+3,$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Но по ОДЗ должно быть $$2x-3>0,$$ то есть $$x>\frac{3}{2},$$ и основание не должно равняться $$1$$. При $$x=2$$ основание равно $$1$$, значит корень не подходит. Корней нет.

г)

$$\log_{x-3}\frac{3x-2}{x+2}=\log_{x-3}\frac{5x+1}{x+9}.$$

Тогда

$$\frac{3x-2}{x+2}=\frac{5x+1}{x+9}.$$

Перемножим:

$$\left(3x-2\right)\left(x+9\right)=\left(5x+1\right)\left(x+2\right),$$

$$3x^2+25x-18=5x^2+11x+2,$$

$$2x^2-14x+20=0,$$

$$x^2-7x+10=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=5.$$

По ОДЗ подходит только $$x=5.$$

Ответ

а) $$0{,}0183$$; б) $$0{,}0733$$; в) $$0{,}2381$$; г) $$0{,}1465$$; д) $$0{,}9267$$; е) $$0{,}5665$$; а) корней нет; б) $$3$$; в) корней нет; г) $$5$$.