Упр.28.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Проверьте, что для с. в. $$G$$ с геометрическим законом распределения математическое ожидание $$M(G)$$ равно $$p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+\ldots$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$\ln(x^2-7x+10)=\ln(4x-20)$$;
   б) $$\lg(x^2-10x+39)=\lg(4x-9)$$;
   в) $$\lg(x^2+9x-10)=\lg(12x+8)$$;
   г) $$\ln(x^2-6x+5)=\ln(4x-19)$$.

Для геометрического распределения с параметрами $$p$$ и $$q=1-p$$ имеем:

$$M(G)=1\cdot p+2\cdot qp+3\cdot q^2p+4\cdot q^3p+\dots$$

Рассмотрим суммы:

$$p+qp+q^2p+q^3p+\dots=p(1+q+q^2+q^3+\dots)=p\cdot \frac{1}{1-q}=1,$$

$$0+qp+q^2p+q^3p+\dots=qp(1+q+q^2+q^3+\dots)=qp\cdot \frac{1}{1-q}=q,$$

$$0+0+q^2p+q^3p+q^4p+\dots=q^2p(1+q+q^2+q^3+\dots)=q^2p\cdot \frac{1}{1-q}=q^2.$$

Складывая такие ряды, получаем:

$$M(G)=p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+\dots$$

Кроме того,

$$M(G)=1+q+q^2+q^3+\dots=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}.$$

Решим уравнения.

1. $$\ln(x^2-7x+10)=\ln(4x-20)$$

   $$x^2-7x+10=4x-20$$

   $$x^2-11x+30=0$$

   $$D=11^2-4\cdot 30=1,$$
   $$x_1=\frac{11-1}{2}=5,\quad x_2=\frac{11+1}{2}=6.$$

   ОДЗ: $$4x-20>0$$, значит $$x>5$$. Подходит только $$x=6$$.

2. $$\lg(x^2-10x+39)=\lg(4x-9)$$

   $$x^2-10x+39=4x-9$$

   $$x^2-14x+48=0$$

   $$D=14^2-4\cdot 48=4,$$
   $$x_1=\frac{14-2}{2}=6,\quad x_2=\frac{14+2}{2}=8.$$

   ОДЗ: $$4x-9>0$$, значит $$x>\frac{9}{4}$$. Оба корня подходят.

3. $$\lg(x^2+9x-10)=\lg(12x+8)$$

   $$x^2+9x-10=12x+8$$

   $$x^2-3x-18=0$$

   $$D=3^2+4\cdot 18=81,$$
   $$x_1=\frac{3-9}{2}=-3,\quad x_2=\frac{3+9}{2}=6.$$

   ОДЗ: $$12x+8>0$$, значит $$x>-\frac{2}{3}$$. Подходит только $$x=6$$.

4. $$\ln(x^2-6x+5)=\ln(4x-19)$$

   $$x^2-6x+5=4x-19$$

   $$x^2-10x+24=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 24=4,$$
   $$x_1=\frac{10-2}{2}=4,\quad x_2=\frac{10+2}{2}=6.$$

   ОДЗ: $$4x-19>0$$, значит $$x>\frac{19}{4}$$. Подходит только $$x=6$$.

Ответ

а) $$M(G)=p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+\dots$$; $$M(G)=\frac{1}{p}$$.
б) $$1$$; в) $$q$$; г) $$q^2$$.
а) $$6$$; б) $$6,\,8$$; в) $$6$$; г) $$6$$.