Упр.28.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) математическое ожидание M(G) равно p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+…;
б) p+qp+q^2p+q^3p+q^4p+…=p(1+q+q^2+q^3+…)=p(1/(1-q))=1;
в) 0+qp+q^2p+q^3p+q^4p+…=qp(1+q+q^2+q^3+…)=qp(1/(1-q))=q;
г) 0+0+q^2p+q^3p+q^4p+…=q^2p(1+q+q^2+q^3+…)=q^2p(1/(1-q))=q^2 и т. д.;
д) если сложить левые части равенств из пунктов «б» — «г» и т. д., то получится p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+…;
e) M(g)=1+q+q^2+q^3+…=1/(1-q)=1/p. Решите уравнение:
а) ln(x^2-7x+10)=ln(4x-20);
б) lg(x^2-10x+39)=lg(4x-9);
в) lg(x^2+9x-10)=lg(12x+8);
г) ln(x^2-6x+5)=ln(4x-19).

Подробный ответ

Для геометрического распределения с параметрами $$p$$ и $$q=1-p$$ имеем:

$$M(G)=1\cdot p+2\cdot qp+3\cdot q^2p+4\cdot q^3p+\dots$$

Рассмотрим суммы:

$$p+qp+q^2p+q^3p+\dots=p(1+q+q^2+q^3+\dots)=p\cdot \frac{1}{1-q}=1,$$

$$0+qp+q^2p+q^3p+\dots=qp(1+q+q^2+q^3+\dots)=qp\cdot \frac{1}{1-q}=q,$$

$$0+0+q^2p+q^3p+q^4p+\dots=q^2p(1+q+q^2+q^3+\dots)=q^2p\cdot \frac{1}{1-q}=q^2.$$

Складывая такие ряды, получаем:

$$M(G)=p+2qp+3q^2p+4q^3p+5q^4p+\dots$$

Кроме того,

$$M(G)=1+q+q^2+q^3+\dots=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}.$$

Решим уравнения.

$$\ln(x^2-7x+10)=\ln(4x-20)$$
$$x^2-7x+10=4x-20$$
$$x^2-11x+30=0$$
$$D=11^2-4\cdot 30=1,$$
$$x_1=\frac{11-1}{2}=5,\quad x_2=\frac{11+1}{2}=6.$$
ОДЗ: $$4x-20>0$$, значит $$x>5$$. Подходит только $$x=6$$.
$$\lg(x^2-10x+39)=\lg(4x-9)$$
$$x^2-10x+39=4x-9$$
$$x^2-14x+48=0$$
$$D=14^2-4\cdot 48=4,$$
$$x_1=\frac{14-2}{2}=6,\quad x_2=\frac{14+2}{2}=8.$$
ОДЗ: $$4x-9>0$$, значит $$x>\frac{9}{4}$$. Оба корня подходят.
$$\lg(x^2+9x-10)=\lg(12x+8)$$
$$x^2+9x-10=12x+8$$
$$x^2-3x-18=0$$
$$D=3^2+4\cdot 18=81,$$
$$x_1=\frac{3-9}{2}=-3,\quad x_2=\frac{3+9}{2}=6.$$
ОДЗ: $$12x+8>0$$, значит $$x>-\frac{2}{3}$$. Подходит только $$x=6$$.
$$\ln(x^2-6x+5)=\ln(4x-19)$$
$$x^2-6x+5=4x-19$$
$$x^2-10x+24=0$$
$$D=10^2-4\cdot 24=4,$$
$$x_1=\frac{10-2}{2}=4,\quad x_2=\frac{10+2}{2}=6.$$
ОДЗ: $$4x-19>0$$, значит $$x>\frac{19}{4}$$. Подходит только $$x=6$$.