Упр.28.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

По таблице геометрического распределения найдите выражение для вероятности: а) $$P(G=3)$$; б) $$P(G=36)$$; в) $$P(G<3)$$; г) $$P(G?4)$$; д) $$P(G\text{ — нечётно})$$; е) $$P(G\text{ — чётно})$$.
Решите уравнение: а) $$\log_{7}(x-3)=\log_{7}(2x-5)$$; б) $$\lg\left(\frac{x+5}{2x+10}\right)=\lg\left(\frac{x-3}{x-1}\right)$$; в) $$\log_{11}(3x-8)=\log_{11}(2x-1)$$; г) $$\ln\left(\frac{x-2}{2x-4}\right)=\ln\left(\frac{x+2}{x+3}\right)$$.

Подробный ответ

Для геометрического распределения:

$$P(G=1)=p,\quad P(G=2)=qp,\quad P(G=3)=q^2p,\quad P(G=4)=q^3p,\dots$$

Тогда:

$$P(G=3)=q^2p;$$
$$P(G=36)=q^{35}p;$$
$$P(G<3)=P(G=1)+P(G=2)=p+qp=1-q^2;$$
$$P(G\ge 4)=P(G>3)=q^3;$$
$$P(G\text{ — нечётно})=p+q^2p+q^4p+\dots$$
$$P=p(1+q^2+q^4+\dots)=\frac{p}{1-q^2}=\frac{1-q}{(1-q)(1+q)}=\frac{1}{1+q};$$
$$P(G\text{ — чётно})=qp+q^3p+q^5p+\dots$$
$$P=pq(1+q^2+q^4+\dots)=\frac{pq}{1-q^2}=\frac{q(1-q)}{(1-q)(1+q)}=\frac{q}{1+q}.$$

Решим уравнения.

$$\log_{\sqrt7}(x-3)=\log_{\sqrt7}(2x-5)$$
$$x-3=2x-5,\quad x=2.$$
Но область определения:
$$x-3>0,\quad 2x-5>0 \Rightarrow x>\frac52.$$
Значит, корней нет.
$$\lg\frac{x+5}{2x+10}=\lg\frac{x-3}{x-1}$$
$$\frac{x+5}{2x+10}=\frac{x-3}{x-1}.$$
Так как $$2x+10=2(x+5),$$ то
$$\frac{x+5}{2(x+5)}=\frac{x-3}{x-1},\quad \frac12=\frac{x-3}{x-1}.$$
$$2(x-3)=x-1,\quad 2x-6=x-1,\quad x=5.$$
ОДЗ: $$x\ne -5,\; x\ne 1,\; x\ne 3.$$ Значение $$x=5$$ подходит.
$$\log_{\sqrt{11}}(3x-8)=\log_{\sqrt{11}}(2x-1)$$
$$3x-8=2x-1,\quad x=7.$$
ОДЗ:
$$3x-8>0,\quad 2x-1>0 \Rightarrow x>\frac83.$$
Значит, $$x=7$$ подходит.
$$\ln\frac{x-2}{2x-4}=\ln\frac{x+2}{x+3}$$
$$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x+2}{x+3}.$$
Так как $$2x-4=2(x-2),$$ то
$$\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac{x+2}{x+3},\quad \frac12=\frac{x+2}{x+3}.$$
$$2(x+2)=x+3,\quad 2x+4=x+3,\quad x=-1.$$
ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -3,\; x\ne -2.$$ Значение $$x=-1$$ подходит.