Упр.28.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) укажите вероятности «успеха» и «неудачи»;
б) вычислите вероятность события «G=3»;
в) вычислите вероятность события «G=4»;
г) составьте таблицу распределения;
д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна 1;
е) найдите наименьшее значение А, при котором вероятность события «G=k» меньше 0,05. Решите уравнение:
а) 2^x·3^((1+x)/x)=18; в) 3^x·5^(2/x)=75;
б) 3^(x-1)·625^((x-2)/(x-1))=225; г) 5^(x-3)·64^((x-4)/(x-3))=5.

Обозначим вероятность попадания через $$q=0{,}9,$$ тогда вероятность промаха

$$p=1-q=1-0{,}9=0{,}1.$$

Случайная величина $$G$$ — число выстрелов до первого промаха.

а) Вероятности «успеха» и «неудачи»:

$$q=0{,}9,\quad p=0{,}1.$$

б) Событие $$G=3$$ означает: два попадания и затем промах.

$$P(G=3)=q^2p=0{,}9^2\cdot 0{,}1=0{,}081.$$

в) Событие $$G=4$$ означает: три попадания и затем промах.

$$P(G=4)=q^3p=0{,}9^3\cdot 0{,}1=0{,}0729.$$

г) Таблица распределения:

д) Проверим сумму вероятностей:

$$ S=0{,}1+0{,}09+0{,}081+\cdots+0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1+\cdots $$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=0{,}1$$ и знаменателем $$q=0{,}9.$$ Тогда

$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}1}{1-0{,}9}=\frac{0{,}1}{0{,}1}=1. $$

е) Найдём наименьшее $$k,$$ при котором

$$P(G=k)=0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1<0{,}05.$$

Тогда

$$ 0{,}9^{\,k-1}<0{,}5, $$

$$ k-1>\log_{0{,}9}0{,}5. $$

Получаем $$k-1>7{,}57,$$ значит, наименьшее целое $$k=9.$$

Решим уравнения.

а)

$$ 2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=18. $$

$$ 2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=2\cdot 3^2. $$

Сравниваем показатели:

$$ x=1,\qquad \frac{1+x}{x}=2. $$

$$ 1+x=2x,\quad x=1. $$

б)

$$ 3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225. $$

$$ 3^{x-1}\cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}=3^2\cdot 5^2. $$

Тогда

$$ x-1=2,\quad \frac{4(x-2)}{x-1}=2. $$

Из первого уравнения $$x=3.$$ Проверка во втором:

$$ \frac{4(3-2)}{3-1}=2. $$

в)

$$ 3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=75. $$

$$ 3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=3\cdot 5^2. $$

Получаем

$$ x=1,\qquad \frac{2}{x}=2. $$

$$ x=1. $$

г)

$$ 5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5. $$

$$ 5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5\cdot 64^0. $$

Тогда

$$ x-3=1,\quad \frac{x-4}{x-3}=0. $$

Из первого уравнения $$x=4.$$ Проверка:

$$ \frac{4-4}{4-3}=0. $$

Ответ

а) $$q=0{,}9,\ p=0{,}1$$; б) $$0{,}081$$; в) $$0{,}0729$$; г) $$P(G=k)=0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1$$; д) $$1$$; е) $$k=9$$.

а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$4$$.