Упр.28.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Вероятность попадания в мишень у стрелка считается равной $$0{,}9$$ и неизменной в сериях выстрелов. Для с. в. $$G$$ «выстрелы до первого промаха»:
а) укажите вероятности «успеха» и «неудачи»;
б) вычислите вероятность события «$$G=3$$»;
в) вычислите вероятность события «$$G=4$$»;
г) составьте таблицу распределения;
д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна $$1$$;
е) найдите наименьшее значение $$A$$, при котором вероятность события «$$G=k$$» меньше $$0{,}05$$.
Задание учебника 2022 года. Решите уравнение:
а) $$2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=18$$;
в) $$3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=75$$;
б) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$;
г) $$5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5$$.
Обозначим вероятность попадания через $$q=0{,}9,$$ тогда вероятность промаха
$$p=1-q=1-0{,}9=0{,}1.$$
Случайная величина $$G$$ — число выстрелов до первого промаха.
а) Вероятности «успеха» и «неудачи»:
$$q=0{,}9,\quad p=0{,}1.$$
б) Событие $$G=3$$ означает: два попадания и затем промах.
$$P(G=3)=q^2p=0{,}9^2\cdot 0{,}1=0{,}081.$$
в) Событие $$G=4$$ означает: три попадания и затем промах.
$$P(G=4)=q^3p=0{,}9^3\cdot 0{,}1=0{,}0729.$$
г) Таблица распределения:
| $$G$$ | 1 | 2 | 3 | … | $$k$$ | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$P$$ | $$0{,}1$$ | $$0{,}09$$ | $$0{,}081$$ | … | $$0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1$$ | … |
д) Проверим сумму вероятностей:
$$S=0{,}1+0{,}09+0{,}081+\cdots+0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1+\cdots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=0{,}1$$ и знаменателем $$q=0{,}9.$$ Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}1}{1-0{,}9}=\frac{0{,}1}{0{,}1}=1.$$
е) Найдём наименьшее $$k,$$ при котором
$$P(G=k)=0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1<0{,}05.$$
Тогда
$$0{,}9^{\,k-1}<0{,}5,$$
$$k-1>\log_{0{,}9}0{,}5.$$
Получаем $$k-1>7{,}57,$$ значит, наименьшее целое $$k=9.$$
Решим уравнения.
а)
$$2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=18.$$
$$2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=2\cdot 3^2.$$
Сравниваем показатели:
$$x=1,\qquad \frac{1+x}{x}=2.$$
$$1+x=2x,\quad x=1.$$
б)
$$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225.$$
$$3^{x-1}\cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}=3^2\cdot 5^2.$$
Тогда
$$x-1=2,\quad \frac{4(x-2)}{x-1}=2.$$
Из первого уравнения $$x=3.$$ Проверка во втором:
$$\frac{4(3-2)}{3-1}=2.$$
в)
$$3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=75.$$
$$3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=3\cdot 5^2.$$
Получаем
$$x=1,\qquad \frac{2}{x}=2.$$
$$x=1.$$
г)
$$5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5.$$
$$5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5\cdot 64^0.$$
Тогда
$$x-3=1,\quad \frac{x-4}{x-3}=0.$$
Из первого уравнения $$x=4.$$ Проверка:
$$\frac{4-4}{4-3}=0.$$
Ответ
а) $$q=0{,}9,\ p=0{,}1$$; б) $$0{,}081$$; в) $$0{,}0729$$; г) $$P(G=k)=0{,}9^{\,k-1}\cdot 0{,}1$$; д) $$1$$; е) $$k=9$$.
а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$4$$.
