Упр.28.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Из набора домино берут одну доминошку. Если это не «дубль», то её возвращают обратно и снова берут одну доминошку. Если это «дубль», то повторения прекращают. Для с. в. $$G$$ «выбор до первого появления дубля»: а) укажите вероятность «успеха» и вероятность «неудачи»; б) вычислите вероятность события «$$G=2$$»; в) вычислите вероятность события «$$G=3$$»; г) составьте таблицу распределения; д) проверьте, что сумма вероятностей во второй строке таблицы действительно равна $$1$$; е) найдите наименьшее значение $$k$$, при котором вероятность события «$$G=k$$» меньше $$0{,}01$$.
- Задание учебника 2022 года. Решите уравнение: а) $$3^{x^2+3}-27^{x+1}=0$$; в) $$125^{5-x^2}-5^{x^2-1}=0$$; б) $$(\sqrt{7})^{\operatorname{tg}(x)}=\frac{7\sqrt{7}}{7^{\operatorname{tg}(x)}}$$; г) $$(\sqrt{3})^{2\cos(x)}=\frac{1}{3\cdot 3^{\cos(x)}}$$.
Обозначим событие «успех» как выпадение дубля. В наборе домино 7 дублей из 28 костей, значит
$$p=\frac{7}{28}=\frac14,\qquad q=1-p=\frac34.$$
Если дубль выпадает впервые на $$k$$-й попытке, то первые $$k-1$$ попыток — неудачи, а затем успех. Поэтому
$$P(G=k)=q^{k-1}p.$$
Тогда
$$P(G=2)=qp=\frac34\cdot\frac14=\frac{3}{16}=0{,}1875,$$
$$P(G=3)=q^2p=\left(\frac34\right)^2\cdot\frac14=\frac{9}{64}\approx 0{,}140625\approx 0{,}141.$$
Таблица распределения:
| $$G$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$\dots$$ | $$k$$ | $$\dots$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$P$$ | $$\frac14$$ | $$\frac{3}{16}$$ | $$\frac{9}{64}$$ | $$\dots$$ | $$\left(\frac34\right)^{k-1}\frac14$$ | $$\dots$$ |
Проверим сумму вероятностей:
$$\sum_{k=1}^{\infty}P(G=k)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac34\right)^{k-1}\frac14=\frac14\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac34\right)^k=\frac14\cdot\frac{1}{1-\frac34}=1.$$
Найдём наименьшее $$k$$, для которого $$P(G=k)<0{,}01$$:
$$\left(\frac34\right)^{k-1}\frac14<0{,}01,$$
$$\left(\frac34\right)^{k-1}<0{,}04.$$
Проверим ближайшие значения:
$$P(G=11)=\left(\frac34\right)^{10}\frac14\approx 0{,}0141>0{,}01,$$
$$P(G=12)=\left(\frac34\right)^{11}\frac14\approx 0{,}0106>0{,}01,$$
$$P(G=13)=\left(\frac34\right)^{12}\frac14\approx 0{,}00795<0{,}01.$$
Решим уравнения.
а)
$$3^{x^2+3}-27^{x+1}=0$$
$$3^{x^2+3}-3^{3x+3}=0$$
$$3^{x^2+3}=3^{3x+3}$$
$$x^2+3=3x+3$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=3.$$
б)
$$\left(\sqrt7\right)^{\tg x}=\frac{7\sqrt7}{7^{\tg x}}$$
$$7^{\frac12\tg x}=7^{\frac32-\tg x}$$
$$\frac12\tg x=\frac32-\tg x$$
$$\frac32\tg x=\frac32$$
$$\tg x=1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в)
$$125^{5-x^2}-5^{x^2-1}=0$$
$$5^{3(5-x^2)}=5^{x^2-1}$$
$$5^{15-3x^2}=5^{x^2-1}$$
$$15-3x^2=x^2-1$$
$$4x^2=16$$
$$x^2=4,$$
откуда $$x=-2$$ или $$x=2.$$
г)
$$\left(\sqrt3\right)^{2\cos x}=\frac{1}{3\cdot 3^{\cos x}}$$
$$3^{\cos x} = 3^{-1-\cos x}$$
$$\cos x=-1-\cos x$$
$$2\cos x=-1$$
$$\cos x=-\frac12,$$
откуда
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$p=\frac14,\ q=\frac34;\quad P(G=2)=\frac{3}{16};\quad P(G=3)=\frac{9}{64};\quad P(G=k)=\left(\frac34\right)^{k-1}\frac14;\quad k=13.$$
б) $$x=0,\ 3.$$
в) $$x=-2,\ 2.$$
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
д) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
