Упр.28.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin^2(2x)=1-cos^2(4x);
б) cos(3x)+cos(9x)-cos(6x)=0;
в) cos^2(3x)-sin^2(3x)=cos(8x);
г) sin(7x)+sin(3x)+cos(2x)=0.

Подробный ответ

а) $$\sin^2 2x=1-\cos^2 4x$$
Так как $$1-\cos^2 4x=\sin^2 4x,$$ получаем
$$\sin^2 2x=\sin^2 4x.$$
Используем формулу $$\sin^2 4x=4\sin^2 2x\cos^2 2x$$:
$$\sin^2 2x=4\sin^2 2x\cos^2 2x,$$
$$\sin^2 2x\,(4\cos^2 2x-1)=0.$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2 2x-1=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$4\cos^2 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\pm \frac12.$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
б) $$\cos 3x+\cos 9x-\cos 6x=0$$
Сгруппируем первые два слагаемых:
$$\cos 3x+\cos 9x=2\cos 6x\cos 3x.$$
Тогда
$$2\cos 6x\cos 3x-\cos 6x=0,$$
$$\cos 6x\,(2\cos 3x-1)=0.$$
Отсюда:
1) $$\cos 6x=0 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}.$$
2) $$2\cos 3x-1=0 \Rightarrow \cos 3x=\frac12.$$
Тогда
$$3x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$
в) $$\cos^2 3x-\sin^2 3x=\cos 8x$$
Так как $$\cos^2 3x-\sin^2 3x=\cos 6x,$$ получаем
$$\cos 6x-\cos 8x=0.$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos 6x-\cos 8x=-2\sin 7x\sin(-x)=0.$$
Следовательно,
$$\sin x\sin 7x=0.$$
Отсюда:
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$
2) $$\sin 7x=0 \Rightarrow 7x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{7}.$$
Так как $$x=\pi n$$ входит в множество решений $$x=\frac{\pi n}{7},$$ окончательно
$$x=\frac{\pi n}{7}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$
г) $$\sin 7x+\sin 3x+\cos 2x=0$$
Сложим первые два слагаемых:
$$\sin 7x+\sin 3x=2\sin 5x\cos 2x.$$
Тогда
$$2\sin 5x\cos 2x+\cos 2x=0,$$
$$\cos 2x\,(2\sin 5x+1)=0.$$
Отсюда:
1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$2\sin 5x+1=0 \Rightarrow \sin 5x=-\frac12.$$
Тогда
$$5x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{30}+\frac{\pi n}{5}.$$