Упр.28.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin(2x)=cos(x); в) 2sin(2x)=sin(4x);
б) sin(6x)=cos^2(2?-3x); г) 2sin^2(x/2+3?)-v3sin(x)=0.

Подробный ответ

а) $$\sin 2x=\cos x$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
2) $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
б) $$\sin 6x=\cos^2(2\pi-3x)$$
Так как $$\cos(2\pi-3x)=\cos 3x$$, получаем:
$$\sin 6x=\cos^2 3x$$
Используем формулу $$\sin 6x=2\sin 3x\cos 3x$$:
$$2\sin 3x\cos 3x=\cos^2 3x$$
$$\cos 3x(2\sin 3x-\cos 3x)=0$$
Отсюда:
1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
2) $$2\sin 3x-\cos 3x=0 \Rightarrow 2\tan 3x=1 \Rightarrow \tan 3x=\frac12$$
$$3x=\arctan\frac12+\pi n \Rightarrow x=\frac13\arctan\frac12+\frac{\pi n}{3}$$
в) $$2\sin 2x=\sin 4x$$
Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
$$2\sin 2x=2\sin 2x\cos 2x$$
$$2\sin 2x(1-\cos 2x)=0$$
Отсюда:
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
2) $$1-\cos 2x=0 \Rightarrow \cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n$$
Но $$x=\pi n$$ входит в решение $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому общее решение:
г) $$2\sin^2\left(\frac{x}{2}+3\pi\right)-\sqrt3\sin x=0$$
Так как $$\sin\left(\frac{x}{2}+3\pi\right)=-\sin\frac{x}{2}$$, то
$$2\sin^2\frac{x}{2}-\sqrt3\sin x=0$$
Используем $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$:
$$2\sin^2\frac{x}{2}-2\sqrt3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$
$$2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\sqrt3\cos\frac{x}{2}\right)=0$$
Отсюда:
1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n$$
2) $$\sin\frac{x}{2}-\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \tan\frac{x}{2}=\sqrt3$$
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$