Упр.28.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом разложения на множители: а) $$3^x\cdot x^2-9x^2-9+3^x=0$$; б) $$(4x)\cos(2x)-\cos(2x)=4x-1$$; в) $$5x^3-5+5^{2x}=25^x\cdot x^3$$; г) $$9x^2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)+9x^2=1$$.

1. $$3^x\cdot x^2-9x^2-9+3^x=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$3^x(x^2+1)-9(x^2+1)=0$$

   $$\left(3^x-9\right)(x^2+1)=0$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, то

   $$3^x-9=0$$

   $$3^x=9=3^2$$

   $$x=2$$

2. $$4x\cos 2x-\cos 2x=4x-1$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$4x\cos 2x-\cos 2x-4x+1=0$$

   $$\cos 2x(4x-1)-(4x-1)=0$$

   $$\left(\cos 2x-1\right)(4x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 2x-1=0 \quad \text{или} \quad 4x-1=0$$

   1) $$\cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n,\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   2) $$4x-1=0 \Rightarrow x=\frac14$$

3. $$5x^3-5+5^{2x}=25^x\cdot x^3$$

   Так как $$25^x=5^{2x}$$, получаем:

   $$5x^3-5+5^{2x}-5^{2x}x^3=0$$

   $$5(x^3-1)-5^{2x}(x^3-1)=0$$

   $$\left(5-5^{2x}\right)(x^3-1)=0$$

   Отсюда:

   $$5-5^{2x}=0 \quad \text{или} \quad x^3-1=0$$

   1) $$5^{2x}=5=5^1 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12$$

   2) $$x^3=1 \Rightarrow x=1$$

4. $$9x^2\sin\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+9x^2=1$$

   Перенесём 1 в левую часть и сгруппируем:

   $$9x^2\sin\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+9x^2-1=0$$

   $$9x^2\left(\sin\frac{x}{2}+1\right)-\left(\sin\frac{x}{2}+1\right)=0$$

   $$\left(9x^2-1\right)\left(\sin\frac{x}{2}+1\right)=0$$

   Отсюда:

   $$9x^2-1=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}+1=0$$

   1) $$9x^2=1 \Rightarrow x^2=\frac19 \Rightarrow x=\pm\frac13$$

   2) $$\sin\frac{x}{2}=-1$$

   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\pi+4\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;\; x=\frac14$$; в) $$x=\frac12,\; 1$$; г) $$x=\pm\frac13,\; x=-\pi+4\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.