Упр.28.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Игральный кубик подбрасывают до первого выпадения шести очков. Какова вероятность того, что потребуется: а) одно бросание; б) три бросания; в) не одно и не три бросания; г) одно или три бросания; д) не менее двух бросаний; е) не три и не четыре бросания?
2. Решите уравнение: а) $$\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2}$$; б) $$\sqrt{7x+5}+\sqrt{2x-13}=\sqrt{9x-8}$$; в) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}=\sqrt{6}$$; г) $$\sqrt{8x-11}+\sqrt{2-x}=\sqrt{7x-9}$$.

Обозначим: вероятность выпадения шести очков при одном бросании $$p=\frac16$$, а вероятность не выпасть шести очков $$q=1-p=\frac56$$.

1. Одно бросание:
   $$P=\frac16.$$
2. Три бросания: сначала два раза не должно выпасть 6, затем должно выпасть 6:
   $$P=\frac56\cdot\frac56\cdot\frac16=\frac{25}{216}.$$
3. Не одно и не три бросания: это значит, что потребуется 2, 4, 5, … бросаний. Удобнее найти дополнение к событиям «одно или три бросания»:
   $$P=1-\frac16-\frac{25}{216}=\frac{155}{216}.$$
4. Одно или три бросания:
   $$P=\frac16+\frac{25}{216}=\frac{61}{216}.$$
5. Не менее двух бросаний: это значит, что 6 не выпало с первого броска:
   $$P=\frac56.$$
6. Не три и не четыре бросания: это все случаи, кроме 3-го и 4-го бросаний.
   Вероятность ровно 3 бросаний:
   $$\frac56\cdot\frac56\cdot\frac16=\frac{25}{216}.$$
   Вероятность ровно 4 бросаний:
   $$\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot\frac16=\frac{125}{1296}.$$
   Тогда
   $$P=1-\frac{25}{216}-\frac{125}{1296}=1-\frac{150}{1296}-\frac{125}{1296}=\frac{1021}{1296}.$$

Решим уравнения.

1. $$\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt2.$$
   Возведём в квадрат:
   $$x+2+2\sqrt{(x+2)(x-2)}+x-2=2,$$
   $$2\sqrt{x^2-4}=2-2x,$$
   $$\sqrt{x^2-4}=1-x.$$
   Но левая часть неотрицательна, значит $$1-x\ge 0$$, то есть $$x\le 1$$.
   С другой стороны, из области определения:
   $$x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 2.$$
   Противоречие, значит корней нет.
2. $$\sqrt{7x+5}+\sqrt{2x-13}=\sqrt{9x-8}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$7x+5+2\sqrt{(7x+5)(2x-13)}+2x-13=9x-8,$$
   $$2\sqrt{(7x+5)(2x-13)}=0,$$
   $$(7x+5)(2x-13)=0.$$
   Отсюда
   $$x=-\frac57 \quad \text{или} \quad x=\frac{13}{2}.$$
   Проверим область определения:
   $$7x+5\ge 0,\quad 2x-13\ge 0,\quad 9x-8\ge 0.$$
   Получаем $$x\ge \frac{13}{2}$$. Подходит только
   $$x=\frac{13}{2}.$$
3. $$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}=\sqrt6.$$
   Возведём в квадрат:
   $$x+3-2\sqrt{(x+3)(x-3)}+x-3=6,$$
   $$2\sqrt{x^2-9}=2x-6,$$
   $$\sqrt{x^2-9}=x-3.$$
   Возведём в квадрат:
   $$x^2-9=x^2-6x+9,$$
   $$6x=18,\quad x=3.$$
   Проверка области определения:
   $$x+3\ge 0,\quad x-3\ge 0.$$
   Значит, $$x=3$$ подходит.
4. $$\sqrt{8x-11}+\sqrt{2-x}=\sqrt{7x-9}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$8x-11+2\sqrt{(8x-11)(2-x)}+2-x=7x-9,$$
   $$2\sqrt{(8x-11)(2-x)}=0,$$
   $$(8x-11)(2-x)=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{11}{8}\quad \text{или} \quad x=2.$$
   Проверим область определения:
   $$8x-11\ge 0,\quad 2-x\ge 0,\quad 7x-9\ge 0.$$
   Получаем
   $$x\ge \frac98,\quad x\le 2.$$
   Оба значения подходят.

Ответ

а) $$\frac16$$; б) $$\frac{25}{216}$$; в) $$\frac{155}{216}$$; г) $$\frac{61}{216}$$; д) $$\frac56$$; е) $$\frac{1021}{1296}$$.

а) корней нет; б) $$x=\frac{13}{2}$$; в) $$x=3$$; г) $$x=\frac{11}{8},\ 2$$.