Упр.28.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение методом разложения на множители:
а) $$2\sqrt{x^5}-11\sqrt{x^3}+5\sqrt{x}=0$$;
б) $$-1+5x^{0,75}+5x^{0,5}-x^{0,25}=0$$;
в) $$3\left(x^7\right)^{\frac{1}{3}}-23\left(x^4\right)^{\frac{1}{3}}+14x^{\frac{1}{3}}=0$$;
г) $$2x^3+3x^{2,25}-2x^{1,5}-3x^{0,75}=0$$.
а) $$2\sqrt{x^5}-11\sqrt{x^3}+5\sqrt{x}=0$$
Вынесем общий множитель $$\sqrt{x}$$:
$$\sqrt{x}\,(2x^2-11x+5)=0$$
Тогда либо $$\sqrt{x}=0$$, либо $$2x^2-11x+5=0$$.
Из первого уравнения получаем $$x=0$$.
Решим квадратное уравнение:
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 5=121-40=81$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 9}{4}$$
$$x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=5$$
Все найденные значения подходят.
б) $$-1+5x^{0,75}+5x^{0,5}-x^{0,25}=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$5x^{0,5}(x^{0,25}+1)-(x^{0,25}+1)=0$$
Вынесем общий множитель:
$$(5x^{0,5}-1)(x^{0,25}+1)=0$$
Тогда:
$$5\sqrt{x}-1=0 \quad \text{или} \quad x^{0,25}+1=0$$
Из второго уравнения решений нет, так как $$x^{0,25}\ge 0$$.
Из первого:
$$5\sqrt{x}=1,\quad \sqrt{x}=\frac{1}{5},\quad x=\frac{1}{25}$$
в) $$3\sqrt[3]{x^7}-23\sqrt[3]{x^4}+14\sqrt[3]{x}=0$$
Вынесем общий множитель $$\sqrt[3]{x}$$:
$$\sqrt[3]{x}\,(3x^2-23x+14)=0$$
Тогда либо $$\sqrt[3]{x}=0$$, либо $$3x^2-23x+14=0$$.
Из первого уравнения получаем $$x=0$$.
Решим квадратное уравнение:
$$D=23^2-4\cdot 3\cdot 14=529-168=361$$
$$x_{1,2}=\frac{23\pm 19}{6}$$
$$x_1=\frac{2}{3},\quad x_2=7$$
г) $$2x^3+3x^{2,25}-2x^{1,5}-3x^{0,75}=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$2x^{1,5}(x^{1,5}-1)+3x^{0,75}(x^{1,5}-1)=0$$
Вынесем общий множитель:
$$\bigl(2x^{1,5}+3x^{0,75}\bigr)(x^{1,5}-1)=0$$
Далее:
$$x^{0,75}(2x^{0,75}+3)(x^{1,5}-1)=0$$
Отсюда:
$$x^{0,75}=0 \quad \text{или} \quad x^{1,5}-1=0$$
Получаем:
$$x=0 \quad \text{или} \quad x^{1,5}=1$$
Так как $$x^{1,5}=x^{3/2}$$, то при $$x\ge 0$$ имеем $$x=1$$.
Ответ
а) $$0;\ \frac{1}{2};\ 5$$
б) $$\frac{1}{25}$$
в) $$0;\ \frac{2}{3};\ 7$$
г) $$0;\ 1$$
