Упр.28.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0;
б) 5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7.

а) Пусть $$y=\cos x-\sin x.$$ Тогда

$$y^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{1-y^2}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{1-y^2}{2}-6\sin x+6\cos x+6=0.$$

Так как $$\cos x-\sin x=y,$$ то $$-6\sin x+6\cos x=6y.$$ Получаем

$$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0,$$

$$1-y^2+12y+12=0,$$

$$y^2-12y-13=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=12^2+4\cdot 13=196,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm 14}{2}.$$

Тогда

$$y_1=-1,\qquad y_2=13.$$

1) $$\cos x-\sin x=-1.$$

Представим левую часть в виде:

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\pi+2\pi n.$$

2) $$\cos x-\sin x=13.$$

Так как $$|\cos x-\sin x|\le \sqrt{2},$$ это уравнение решений не имеет.

б) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$ Тогда

$$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7$$

$$10\sin x\cos x-11\sin x-11\cos x+7=0.$$

Пусть $$y=\cos x+\sin x.$$ Тогда

$$y^2=\cos^2 x+2\sin x\cos x+\sin^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим:

$$10\cdot \frac{y^2-1}{2}-11y+7=0,$$

$$5y^2-11y+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot 2=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}.$$

Получаем

$$y_1=\frac15,\qquad y_2=2.$$

1) $$\cos x+\sin x=\frac15.$$

Представим левую часть так:

$$\cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10},$$

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n.$$

2) $$\cos x+\sin x=2.$$

Так как $$|\cos x+\sin x|\le \sqrt{2},$$ решений нет.

Ответ

а) $$x=-\pi+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$