Упр.28.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2tg^2(x)-5=4cos^2(x); в) 4sin^2(x)=4-9tg^2(x);
б) 3ctg^2(x)+2cos^2(x)=4; г) 5ctg^2(x)-4sin^2(x)=3.

1. а) $$2\tg^2 x-5=4\cos^2 x$$

   Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$ 2\cdot \frac{1-y}{y}-5=4y $$
   $$ 2-2y-5y=4y^2 $$
   $$ 4y^2+7y-2=0 $$

   $$ D=7^2+4\cdot 4\cdot 2=81 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{8} $$
   $$ y_1=-2,\quad y_2=\frac14 $$

   Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0.$$

   Тогда $$\cos^2 x=\frac14,$$ откуда
   $$ \cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot \frac14-1=-\frac12. $$
   Следовательно,
   $$ 2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, $$
   $$ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

2. б) $$3\ctg^2 x+2\cos^2 x=4$$

   Преобразуем через $$\sin x$$:

   $$ 3\cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}+2\cos^2 x=4 $$
   $$ 3\cdot \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}+2(1-\sin^2 x)=4 $$

   Положим $$y=\sin^2 x.$$ Тогда

   $$ \frac{3(1-y)}{y}+2(1-y)=4 $$
   $$ 3-3y+2y-2y^2=4y $$
   $$ 2y^2+5y-3=0 $$

   $$ D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=49 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4} $$
   $$ y_1=-3,\quad y_2=\frac12 $$

   Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\sin^2 x\ge 0.$$

   Тогда $$\sin^2 x=\frac12,$$ значит
   $$ \cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2\cdot \frac12=0. $$
   Следовательно,
   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z. $$

3. в) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

   Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$ 4(1-y)=4-9\cdot \frac{1-y}{y} $$
   $$ 4-4y=4-\frac{9}{y}+9 $$
   $$ 4y^2+9y-9=0 $$

   $$ D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-9\pm 15}{8} $$
   $$ y_1=-3,\quad y_2=\frac34 $$

   Значение $$y=-3$$ не подходит.

   Тогда $$\cos^2 x=\frac34,$$ значит
   $$ \cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot \frac34-1=\frac12. $$
   Следовательно,
   $$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, $$
   $$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

4. г) $$5\ctg^2 x-4\sin^2 x=3$$

   Преобразуем через $$\sin x$$:

   $$ 5\cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-4\sin^2 x=3 $$
   $$ 5\cdot \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}-4\sin^2 x=3 $$

   Положим $$y=\sin^2 x.$$ Тогда

   $$ \frac{5(1-y)}{y}-4y=3 $$
   $$ 5-5y-4y^2=3y $$
   $$ 4y^2+8y-5=0 $$

   $$ D=8^2+4\cdot 4\cdot 5=144 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{8} $$
   $$ y_1=-\frac52,\quad y_2=\frac12 $$

   Значение $$y=-\frac52$$ не подходит.

   Тогда $$\sin^2 x=\frac12,$$ откуда
   $$ \cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2\cdot \frac12=0. $$
   Следовательно,
   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

в) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$n\in \mathbb Z.$$