Упр.28.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$2\operatorname{tg}^2(x)-5=4\cos^2(x)$$; в) $$4\sin^2(x)=4-9\operatorname{tg}^2(x)$$; б) $$3\operatorname{ctg}^2(x)+2\cos^2(x)=4$$; г) $$5\operatorname{ctg}^2(x)-4\sin^2(x)=3$$.

1. а) $$2\tg^2 x-5=4\cos^2 x$$

   Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$2\cdot \frac{1-y}{y}-5=4y$$
   $$2-2y-5y=4y^2$$
   $$4y^2+7y-2=0$$

   $$D=7^2+4\cdot 4\cdot 2=81$$
   $$y_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{8}$$
   $$y_1=-2,\quad y_2=\frac14$$

   Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0.$$

   Тогда $$\cos^2 x=\frac14,$$ откуда
   $$\cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot \frac14-1=-\frac12.$$
   Следовательно,
   $$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. б) $$3\ctg^2 x+2\cos^2 x=4$$

   Преобразуем через $$\sin x$$:

   $$3\cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}+2\cos^2 x=4$$
   $$3\cdot \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}+2(1-\sin^2 x)=4$$

   Положим $$y=\sin^2 x.$$ Тогда

   $$\frac{3(1-y)}{y}+2(1-y)=4$$
   $$3-3y+2y-2y^2=4y$$
   $$2y^2+5y-3=0$$

   $$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$
   $$y_1=-3,\quad y_2=\frac12$$

   Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\sin^2 x\ge 0.$$

   Тогда $$\sin^2 x=\frac12,$$ значит
   $$\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2\cdot \frac12=0.$$
   Следовательно,
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

3. в) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

   Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$4(1-y)=4-9\cdot \frac{1-y}{y}$$
   $$4-4y=4-\frac{9}{y}+9$$
   $$4y^2+9y-9=0$$

   $$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225$$
   $$y_{1,2}=\frac{-9\pm 15}{8}$$
   $$y_1=-3,\quad y_2=\frac34$$

   Значение $$y=-3$$ не подходит.

   Тогда $$\cos^2 x=\frac34,$$ значит
   $$\cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot \frac34-1=\frac12.$$
   Следовательно,
   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. г) $$5\ctg^2 x-4\sin^2 x=3$$

   Преобразуем через $$\sin x$$:

   $$5\cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-4\sin^2 x=3$$
   $$5\cdot \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}-4\sin^2 x=3$$

   Положим $$y=\sin^2 x.$$ Тогда

   $$\frac{5(1-y)}{y}-4y=3$$
   $$5-5y-4y^2=3y$$
   $$4y^2+8y-5=0$$

   $$D=8^2+4\cdot 4\cdot 5=144$$
   $$y_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{8}$$
   $$y_1=-\frac52,\quad y_2=\frac12$$

   Значение $$y=-\frac52$$ не подходит.

   Тогда $$\sin^2 x=\frac12,$$ откуда
   $$\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2\cdot \frac12=0.$$
   Следовательно,
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

в) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$n\in \mathbb Z.$$