Упр.28.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 4sin^2(x)+7=16sin(x); в) 2cos^2(x)-7cos(x)-4=0;
б) 7-9cos(2x)=42cos(x); г) 9cos(2x)+15sin(x)=17.

Подробный ответ

а) Введём новую переменную $$y=\sin x$$. Тогда получаем:
$$4y^2+7=16y$$
$$4y^2-16y+7=0$$
$$D=16^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144$$
$$y_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2\cdot 4}$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=\frac72$$
Значение $$y_2=\frac72$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.
Остаётся:
$$\sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$. Тогда:
$$7-9(2\cos^2 x-1)=42\cos x$$
$$7-18\cos^2 x+9=42\cos x$$
$$18\cos^2 x+42\cos x-16=0$$
$$9\cos^2 x+21\cos x-8=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:
$$9y^2+21y-8=0$$
$$D=21^2-4\cdot 9\cdot(-8)=441+288=729$$
$$y_{1,2}=\frac{-21\pm 27}{2\cdot 9}$$
$$y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac{8}{3}$$
Значение $$y_2=-\frac83$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.
Остаётся:
$$\cos x=\frac13$$
$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:
$$2y^2-7y-4=0$$
$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=49+32=81$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2}$$
$$y_1=-\frac12,\quad y_2=4$$
Значение $$y_2=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.
Остаётся:
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$. Тогда:
$$9(1-2\sin^2 x)+15\sin x=17$$
$$9-18\sin^2 x+15\sin x=17$$
$$18\sin^2 x-15\sin x+8=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда:
$$18y^2-15y+8=0$$
$$D=(-15)^2-4\cdot 18\cdot 8=225-576=-351$$
Так как $$D<0$$, действительных корней нет.