Упр.28.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$4\sin^2(x)+7=16\sin(x)$$; в) $$2\cos^2(x)-7\cos(x)-4=0$$; б) $$7-9\cos(2x)=42\cos(x)$$; г) $$9\cos(2x)+15\sin(x)=17$$.

1. а) Введём новую переменную $$y=\sin x$$. Тогда получаем:

   $$4y^2+7=16y$$

   $$4y^2-16y+7=0$$

   $$D=16^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144$$

   $$y_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2\cdot 4}$$

   $$y_1=\frac12,\quad y_2=\frac72$$

   Значение $$y_2=\frac72$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.

   Остаётся:

   $$\sin x=\frac12$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. б) Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$. Тогда:

   $$7-9(2\cos^2 x-1)=42\cos x$$

   $$7-18\cos^2 x+9=42\cos x$$

   $$18\cos^2 x+42\cos x-16=0$$

   $$9\cos^2 x+21\cos x-8=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:

   $$9y^2+21y-8=0$$

   $$D=21^2-4\cdot 9\cdot(-8)=441+288=729$$

   $$y_{1,2}=\frac{-21\pm 27}{2\cdot 9}$$

   $$y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac{8}{3}$$

   Значение $$y_2=-\frac83$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.

   Остаётся:

   $$\cos x=\frac13$$

   $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. в) Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:

   $$2y^2-7y-4=0$$

   $$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=49+32=81$$

   $$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2}$$

   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=4$$

   Значение $$y_2=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.

   Остаётся:

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. г) Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$. Тогда:

   $$9(1-2\sin^2 x)+15\sin x=17$$

   $$9-18\sin^2 x+15\sin x=17$$

   $$18\sin^2 x-15\sin x+8=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда:

   $$18y^2-15y+8=0$$

   $$D=(-15)^2-4\cdot 18\cdot 8=225-576=-351$$

   Так как $$D<0$$, действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) корней нет.