Упр.28.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$\left(\log_3(x)\right)^2+6=5\log_3(x)$$; в) $$\left(\log_5(x)\right)^2+8=6\log_5(x)$$; б) $$\lg^2(x^2)+\lg(10x)=6$$; г) $$\lg^2(x^3)+\lg(100x)=12$$.

1. а) Пусть $$y=\log_3 x$$, тогда

   $$y^2+6=5y$$

   $$y^2-5y+6=0$$

   $$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

   $$y=2 \text{ или } y=3$$

   Тогда

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9$$

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=3^3=27$$

2. б) Пусть $$y=\lg x$$, тогда $$\lg x^2=2\lg x=2y$$ и

   $$\lg(10x)=\lg 10+\lg x=1+y$$

   Получаем:

   $$4y^2+2y+1=6$$

   $$4y^2+2y-5=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 4\cdot(-5)=4+80=84$$

   $$y=\frac{-2\pm\sqrt{84}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{4}$$

   Следовательно,

   $$\lg x=\frac{-1+\sqrt{21}}{4} \quad \text{или} \quad \lg x=\frac{-1-\sqrt{21}}{4}$$

   $$x=10^{\frac{-1+\sqrt{21}}{4}} \quad \text{или} \quad x=10^{\frac{-1-\sqrt{21}}{4}}$$

3. в) Пусть $$y=\log_5 x$$, тогда

   $$y^2+8=6y$$

   $$y^2-6y+8=0$$

   $$\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0$$

   $$y=2 \text{ или } y=4$$

   Тогда

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=5^2=25$$

   $$\log_5 x=4 \Rightarrow x=5^4=625$$

4. г) Пусть $$y=\lg x$$, тогда $$\lg x^3=3\lg x=3y$$ и

   $$\lg(100x)=\lg 100+\lg x=2+y$$

   Получаем:

   $$9y^2+y+2=12$$

   $$9y^2+y-10=0$$

   $$D=1^2-4\cdot 9\cdot(-10)=1+360=361$$

   $$y=\frac{-1\pm 19}{18}$$

   $$y_1=-\frac{10}{9}, \quad y_2=1$$

   Следовательно,

   $$\lg x=-\frac{10}{9} \Rightarrow x=10^{-\frac{10}{9}}$$

   $$\lg x=1 \Rightarrow x=10$$

Ответ

а) $$9; 27$$; б) $$10^{\frac{-1+\sqrt{21}}{4}}; 10^{\frac{-1-\sqrt{21}}{4}}$$; в) $$25; 625$$; г) $$10^{-\frac{10}{9}}; 10$$.