Упр.28.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$3^{x+1}+3^{1-x}=10$$; б) $$5^{2x+1}+1=6\cdot5^x$$; в) $$2^x+2^{2-x}=5$$; г) $$3^{x+1}-29+18\cdot3^{-x}=0$$.

1. а) Введём новую переменную: $$t=3^x$$, тогда $$3^{x+1}=3t$$, $$3^{1-x}=\frac{3}{t}.$$

   Получаем:

   $$3t+\frac{3}{t}=10.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$3t^2-10t+3=0.$$

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

   $$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$

   Тогда:

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

   $$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1.$$

2. б) Введём переменную: $$t=5^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$5^{2\sqrt{x}+1}=5t^2.$$

   Имеем:

   $$5t^2-6t+1=0.$$

   $$D=6^2-4\cdot 5\cdot 1=16,$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac15.$$

   Но $$t=5^{\sqrt{x}}\ge 1,$$ значит подходит только $$t=1.$$

   $$5^{\sqrt{x}}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$

3. в) Введём переменную: $$t=2^x.$$ Тогда $$2^{2-x}=\frac{4}{t}.$$

   Получаем:

   $$t+\frac{4}{t}=5.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-5t+4=0.$$

   $$D=5^2-4\cdot 4=9,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=4.$$

   Тогда:

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

4. г) Введём переменную: $$t=3^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$3^{\sqrt{x}+1}=3t,$$ $$3^{-\sqrt{x}}=\frac{1}{t}.$$

   Имеем:

   $$3t-29+\frac{18}{t}=0.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$3t^2-29t+18=0.$$

   $$D=29^2-4\cdot 3\cdot 18=625,$$

   $$t_{1,2}=\frac{29\pm 25}{6}.$$

   $$t_1=\frac23,\quad t_2=9.$$

   Тогда:

   $$3^{\sqrt{x}}=\frac23 \Rightarrow \sqrt{x}=\log_3\frac23,$$

   $$3^{\sqrt{x}}=9 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

   Первое значение не подходит, так как $$\log_3\frac23<0$$ и $$\sqrt{x}\ge 0.$$

Ответ

а) $$-1; 1$$; б) $$0$$; в) $$0; 2$$; г) $$4$$.