Упр.28.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 3^(x+1)+3^(1-x)=10; в) 2^x+2^(2-x)=5;
б) 5^(2vx+1)+1=6·5^(vx); г) 3^(vx+1)-29+18·3^(-vx)=0.

Подробный ответ

а) Введём новую переменную: $$t=3^x$$, тогда $$3^{x+1}=3t$$, $$3^{1-x}=\frac{3}{t}.$$
Получаем:
$$3t+\frac{3}{t}=10.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-10t+3=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
$$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$
Тогда:
$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1.$$
б) Введём переменную: $$t=5^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$5^{2\sqrt{x}+1}=5t^2.$$
Имеем:
$$5t^2-6t+1=0.$$
$$D=6^2-4\cdot 5\cdot 1=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac15.$$
Но $$t=5^{\sqrt{x}}\ge 1,$$ значит подходит только $$t=1.$$
$$5^{\sqrt{x}}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$
в) Введём переменную: $$t=2^x.$$ Тогда $$2^{2-x}=\frac{4}{t}.$$
Получаем:
$$t+\frac{4}{t}=5.$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-5t+4=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 4=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=4.$$
Тогда:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$
г) Введём переменную: $$t=3^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$3^{\sqrt{x}+1}=3t,$$ $$3^{-\sqrt{x}}=\frac{1}{t}.$$
Имеем:
$$3t-29+\frac{18}{t}=0.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-29t+18=0.$$
$$D=29^2-4\cdot 3\cdot 18=625,$$
$$t_{1,2}=\frac{29\pm 25}{6}.$$
$$t_1=\frac23,\quad t_2=9.$$
Тогда:
$$3^{\sqrt{x}}=\frac23 \Rightarrow \sqrt{x}=\log_3\frac23,$$
$$3^{\sqrt{x}}=9 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$
Первое значение не подходит, так как $$\log_3\frac23<0$$ и $$\sqrt{x}\ge 0.$$