Упр.28.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x-3-v(x-3)=2;
б) v(x^2-2x+1)=6v(x-1)+7;
в) x+4+6v(x+4)+8=0;
г) v(x^2-4x+4)=5v(x-2)+6.

Подробный ответ

а) $$x-3-\sqrt{x-3}=2.$$
Пусть $$y=\sqrt{x-3}.$$ Тогда $$x-3=y^2,$$ и уравнение принимает вид
$$y^2-y=2,$$
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad y_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
Так как $$y=\sqrt{x-3}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x-3}=2,$$
$$x-3=4,$$
$$x=7.$$
б) $$\sqrt{x^2-2x+1}=6\sqrt{x-1}+7.$$
Так как $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ а $$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|,$$ то при $$x\ge 1$$ имеем
$$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=x-1.$$
Пусть $$y=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$x-1=y^2,$$ и уравнение можно записать как
$$y^2=6y+7,$$
$$y^2-6y-7=0.$$
$$D=36+28=64,$$
$$y_1=\frac{6-8}{2}=-1,\quad y_2=\frac{6+8}{2}=7.$$
Так как $$y=\sqrt{x-1}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x-1}=7,$$
$$x-1=49,$$
$$x=50.$$
в) $$x+4+6\sqrt{x+4}+8=0.$$
Пусть $$y=\sqrt{x+4}.$$ Тогда $$x+4=y^2,$$ и получаем
$$y^2+6y+8=0.$$
$$D=36-32=4,$$
$$y_1=\frac{-6-2}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-6+2}{2}=-2.$$
Но $$y=\sqrt{x+4}\ge 0,$$ поэтому оба значения не подходят. Корней нет.
г) $$\sqrt{x^2-4x+4}=5\sqrt{x-2}+6.$$
Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ а $$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|,$$ то при $$x\ge 2$$ имеем
$$\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=x-2.$$
Пусть $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$x-2=y^2,$$ и уравнение принимает вид
$$y^2=5y+6,$$
$$y^2-5y-6=0.$$
$$D=25+24=49,$$
$$y_1=\frac{5-7}{2}=-1,\quad y_2=\frac{5+7}{2}=6.$$
Так как $$y=\sqrt{x-2}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x-2}=6,$$
$$x-2=36,$$
$$x=38.$$