Упр.28.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2vx-3x^(1/4)-2=0; в) 3vx-5x^(1/4)+2=0;
б) x^(1/3)-x^(1/6)-2=0; г) x^(1/3)-2x^(1/6)-3=0.

Пусть в понедельник Маша решила $$a_1$$ задач, а Лена — $$b_1$$ задач. Тогда в каждый следующий день Маша решала на $$2$$ задачи больше, а Лена — на $$3$$ задачи больше, то есть их ежедневные результаты образуют арифметические прогрессии:

$$a_n=a_1+2(n-1), \qquad b_n=b_1+3(n-1).$$

Если обе девочки в один и тот же день решили все задачи из списка, то суммы решённых задач за одинаковое число дней равны:

$$S_n^{(М)}=S_n^{(Л)}.$$

Для арифметической прогрессии

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$

поэтому

$$\frac{2a_1+2(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2b_1+3(n-1)}{2}\cdot n.$$

Сократим на $$n$$ и упростим:

$$2a_1+2(n-1)=2b_1+3(n-1),$$

$$2a_1+2n-2=2b_1+3n-3,$$

$$n=2(a_1-b_1)+1.$$

Значит, $$n$$ — нечётное число. Следовательно, число подготовленных задач может быть только нечётным.

Проверим варианты: $$7$$ — нечётное число, $$12$$ — чётное число.

Теперь решим уравнения методом введения новой переменной.

а) $$2\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}-2=0.$$

Положим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:

$$2t^2-3t-2=0.$$

$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25.$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac12.$$

Так как $$t=\sqrt[4]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда

$$x=2^4=16.$$

б) $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0.$$

Положим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:

$$t^2-t-2=0.$$

$$D= (-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9.$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

$$t_1=2,\qquad t_2=-1.$$

Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда

$$x=2^6=64.$$

в) $$3\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+2=0.$$

Положим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:

$$3t^2-5t+2=0.$$

$$D= (-5)^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1.$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}.$$

$$t_1=\frac23,\qquad t_2=1.$$

Тогда

$$x=\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81},\qquad x=1^4=1.$$

г) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}-3=0.$$

Положим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:

$$t^2-2t-3=0.$$

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16.$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

$$t_1=-1,\qquad t_2=3.$$

Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=3$$. Тогда

$$x=3^6=729.$$

Ответ

Число задач: а) да; б) нет. Уравнения: а) $$16$$; б) $$64$$; в) $$\frac{16}{81},\,1$$; г) $$729$$.