Упр.28.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) одно бросание;
б) два бросания;
в) не более двух бросаний;
г) три бросания;
д) четыре бросания;
е) более трёх бросаний? Решите уравнение:
а) v(6x^2-8x)=v(x^2+5x+6);
б) v(5x^2-12x)=v(5x-2x^2+12);
в) v(8x^2+4x)=v(3x^2+11x+6);
г) v(4x^2-9x-9)=v(11x-2x^2-15).

Подробный ответ

Обозначим вероятность выпадения «решки» при одном бросании одной монеты через $$\frac12$$. Тогда для двух монет:

$$p=\frac12\cdot\frac12=\frac14,$$

то есть вероятность того, что выпадут две «решки», равна $$\frac14$$, а вероятность противоположного события — $$q=1-\frac14=\frac34.$$

а) Одно бросание:
$$P=\frac14.$$
б) Два бросания:
В первый раз две «решки» не выпали, а во второй выпали:
$$P=\frac34\cdot\frac14=\frac{3}{16}.$$
в) Не более двух бросаний:
Это сумма вероятностей событий «за 1 бросание» и «за 2 бросания»:
$$P=\frac14+\frac34\cdot\frac14=\frac{7}{16}.$$
г) Три бросания:
Первые два раза две «решки» не выпали, а на третьем выпали:
$$P=\frac34\cdot\frac34\cdot\frac14=\frac{3^2}{4^3}=\frac{9}{64}.$$
д) Четыре бросания:
Первые три раза две «решки» не выпали, а на четвёртом выпали:
$$P=\frac34\cdot\frac34\cdot\frac34\cdot\frac14=\frac{3^3}{4^4}=\frac{27}{256}.$$
е) Более трёх бросаний:
Это значит, что первые три бросания не дали двух «решек»:
$$P=\frac34\cdot\frac34\cdot\frac34=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}.$$

Ответ

а) $$\frac14$$; б) $$\frac{3}{16}$$; в) $$\frac{7}{16}$$; г) $$\frac{9}{64}$$; д) $$\frac{27}{256}$$; е) $$\frac{27}{64}$$.

Ход решения

а) $$\sqrt{6x^2-8x}=\sqrt{x^2+5x+6}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$6x^2-8x=x^2+5x+6$$
$$5x^2-13x-6=0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2+4\cdot 5\cdot 6=289,$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 17}{10}.$$
Отсюда:
$$x_1=-\frac25,\quad x_2=3.$$
Проверка области определения:
$$6x^2-8x\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x(3x-4)\ge 0,$$
то есть $$x\le 0$$ или $$x\ge \frac43.$$
Оба найденных корня подходят.
б) $$\sqrt{5x^2-12x}=\sqrt{5x-2x^2+12}$$
$$5x^2-12x=5x-2x^2+12$$
$$7x^2-17x-12=0.$$
$$D=17^2+4\cdot 7\cdot 12=625,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 25}{14}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac47,\quad x_2=3.$$
Проверка области определения:
$$5x^2-12x\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(5x-12)\ge 0,$$
то есть $$x\le 0$$ или $$x\ge \frac{12}{5}.$$
Оба корня подходят.
в) $$\sqrt{8x^2+4x}=\sqrt{3x^2+11x+6}$$
$$8x^2+4x=3x^2+11x+6$$
$$5x^2-7x-6=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 5\cdot 6=169,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 13}{10}.$$
Отсюда:
$$x_1=-\frac35,\quad x_2=2.$$
Проверка области определения:
$$8x^2+4x\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 4x(2x+1)\ge 0,$$
то есть $$x\le -\frac12$$ или $$x\ge 0.$$
Корень $$x=-\frac35$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.
г) $$\sqrt{4x^2-9x-9}=\sqrt{11x-2x^2-15}$$
$$4x^2-9x-9=11x-2x^2-15$$
$$6x^2-20x+6=0$$
$$3x^2-10x+3=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac13,\quad x_2=3.$$
Проверка области определения:
$$4x^2-9x-9\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x+0{,}75)(x-3)\ge 0,$$
то есть $$x\le -0{,}75$$ или $$x\ge 3.$$
Подходит только $$x=3.$$