Упр.28.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Филателист приобрёл марку. Стоимость марки в конце $$n$$-го года становится равной $$n^2$$ р. Филателист планирует через несколько лет продать марку и полученные деньги положить в банк под $$10{,}25\%$$ годовых. В каком году с момента приобретения марки ему целесообразно осуществить продажу, чтобы к концу пятнадцатого года на счёте в банке оказалась наибольшая сумма денег?
- Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) $$x-17\sqrt{x}+16=0$$;
в) $$x-7\sqrt{x}+12=0$$;
б) $$2x^{\frac{1}{3}}-\frac{7}{x^{\frac{1}{3}}}=5$$;
г) $$3\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}+1=0$$.
Пусть марка продана через $$x$$ лет после покупки. Тогда к концу пятнадцатого года деньги в банке составят
$$f(x)=x^2\cdot 1{,}1025^{15-x}.$$
Нужно найти, при каком $$x$$ эта сумма наибольшая.
Рассмотрим производную:
$$f'(x)=2x\cdot 1{,}1025^{15-x}-x^2\cdot 1{,}1025^{15-x}\ln 1{,}1025.$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=1{,}1025^{15-x}\bigl(2x-x^2\ln 1{,}1025\bigr).$$
Так как $$1{,}1025^{15-x}>0$$, знак производной определяется выражением
$$2x-x^2\ln 1{,}1025=x\bigl(2-x\ln 1{,}1025\bigr).$$
При $$x>0$$ максимум достигается, когда
$$2-x\ln 1{,}1025=0,$$
то есть
$$x=\frac{2}{\ln 1{,}1025}\approx 19{,}8.$$
Следовательно, целесообразно продать марку примерно через $$20$$ лет после покупки. Тогда к концу пятнадцатого года сумма на счёте будет наибольшей.
Ответ
Через $$20$$ лет после приобретения марки.
$$x-17\sqrt{x}+16=0.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем
$$t^2-17t+16=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225.$$
$$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=16.$$
Тогда
$$x_1=1^2=1,\quad x_2=16^2=256.$$
$$2\sqrt[3]{x}-\frac{7}{\sqrt[3]{x}}=5.$$
Положим $$t=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$t\ne 0$$ и
$$2t-\frac{7}{t}=5.$$
Умножим на $$t$$:
$$2t^2-5t-7=0.$$
$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 7=25+56=81.$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 9}{4}.$$
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac{7}{2}.$$
Тогда
$$x_1=(-1)^3=-1,\quad x_2=\left(\frac{7}{2}\right)^3=\frac{343}{8}.$$
$$x-7\sqrt{x}+12=0.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда
$$t^2-7t+12=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 12=49-48=1.$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}.$$
$$t_1=3,\quad t_2=4.$$
Следовательно,
$$x_1=3^2=9,\quad x_2=4^2=16.$$
$$3\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{x}}+1=0.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t>0$$ и
$$3t-\frac{4}{t}+1=0.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2+t-4=0.$$
$$D=1^2+4\cdot 3\cdot 4=49.$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6}.$$
$$t_1=-\frac{4}{3},\quad t_2=1.$$
Так как $$t>0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда
$$x=1.$$
Ответ
а) $$1; 256$$; б) $$-1; \frac{343}{8}$$; в) $$9; 16$$; г) $$1$$.
