Упр.28.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 8x^6-7x^3-1=0; в) x^6-7x^3-8=0;
б) 9x^3-(2/x)^3=1; г) 12x^4-1=(1/x)^4.

Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{6}{x}$$ и $$y=8-2x$$ при $$x>0$$:

$$\frac{6}{x}=8-2x$$
$$6=8x-2x^2$$
$$2x^2-8x+6=0$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_1=1,\; x_2=3.$$

На отрезке $$[1;3]$$ прямая лежит выше гиперболы, поэтому площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{1}^{3}\left(8-2x-\frac{6}{x}\right)\,dx$$
$$S=\left(8x-x^2-6\ln x\right)\Big|_{1}^{3}$$
$$S=(24-9-6\ln 3)-(8-1)=8-6\ln 3.$$

Решим уравнения методом введения новой переменной.

1. а) $$8x^6-7x^3-1=0$$. Введём $$t=x^3$$:

   $$8t^2-7t-1=0$$
   $$D=49+32=81$$
   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{16}.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac18.$$

   $$x^3=1 \Rightarrow x=1,$$
   $$x^3=-\frac18 \Rightarrow x=-\frac12.$$

2. б) $$9x^3-\left(\frac{2}{x}\right)^3=1$$, $$x\neq 0$$. Умножим на $$x^3$$:

   $$9x^6-8=x^3$$
   $$9x^6-x^3-8=0.$$

   Положим $$t=x^3$$:

   $$9t^2-t-8=0$$
   $$D=1+288=289$$
   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 17}{18}.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac89.$$

   $$x^3=1 \Rightarrow x=1,$$
   $$x^3=-\frac89 \Rightarrow x=-\frac{2}{\sqrt[3]{9}}.$$

3. в) $$x^6-7x^3-8=0$$. Введём $$t=x^3$$:

   $$t^2-7t-8=0$$
   $$D=49+32=81$$
   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$

   $$t_1=8,\quad t_2=-1.$$

   $$x^3=8 \Rightarrow x=2,$$
   $$x^3=-1 \Rightarrow x=-1.$$

4. г) $$12x^4-1=\left(\frac{1}{x}\right)^4$$, $$x\neq 0$$. Умножим на $$x^4$$:

   $$12x^8-x^4=1$$
   $$12x^8-x^4-1=0.$$

   Положим $$t=x^4$$:

   $$12t^2-t-1=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{24}.$$

   $$t_1=\frac13,\quad t_2=-\frac14.$$

   Так как $$x^4\ge 0$$, подходит только $$x^4=\frac13$$:

   $$x=\pm \sqrt[4]{\frac13}=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}.$$

Ответ

$$S=8-6\ln 3;$$
а) $$x=-\frac12,\;1;$$
б) $$x=-\frac{2}{\sqrt[3]{9}},\;1;$$
в) $$x=-1,\;2;$$
г) $$x=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}.$$