Упр.28.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Функция F(x) = -0,5x^3 + 9x^2 — 48x + 19/5 является одной из первообразных функции y = f(x), график которой изображён на рисунке 159, б. Найдите площадь закрашенной фигуры. Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) x^4-5x^2+4=0;
б) (x-1)^4-5(x^2-2x+1)+4=0;
в) x^4+4x^2-5=0;
г) (3x-2)^4+9x^2-12x=16.

Подробный ответ

а) Площадь закрашенной фигуры равна приращению первообразной на отрезке $$[-6;-4]$$:
$$S=F(-4)-F(-6).$$
Вычислим:
$$F(-6)=2\cdot(-6)^3+30\cdot(-6)^2+154\cdot(-6)-\frac{23}{6}=-276,$$
$$F(-4)=2\cdot(-4)^3+30\cdot(-4)^2+154\cdot(-4)-\frac{23}{6}=-264.$$
Тогда
$$S=-264-(-276)=12.$$
б) Аналогично, для отрезка $$[4;8]$$:
$$S=F(8)-F(4).$$
Вычислим:
$$F(8)=-0{,}5\cdot 8^3+9\cdot 8^2-48\cdot 8+\frac{19}{5}=-64,$$
$$F(4)=-0{,}5\cdot 4^3+9\cdot 4^2-48\cdot 4+\frac{19}{5}=-80.$$
Тогда
$$S=-64-(-80)=16.$$
а) Решим уравнение введением новой переменной:
$$x^4-5x^2+4=0.$$
Пусть $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2-5y+4=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad y_2=\frac{5+3}{2}=4.$$
Отсюда:
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$
б)
$$ (x-1)^4-5(x^2-2x+1)+4=0.$$
Заметим, что $$x^2-2x+1=(x-1)^2$$. Тогда
$$ (x-1)^4-5(x-1)^2+4=0.$$
Пусть $$y=(x-1)^2$$. Получаем
$$y^2-5y+4=0,$$
$$y_1=1,\qquad y_2=4.$$
1) $$ (x-1)^2=1 \Rightarrow x-1=\pm 1 \Rightarrow x=0,\;2.$$
2) $$ (x-1)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2 \Rightarrow x=-1,\;3.$$
в)
$$x^4+4x^2-5=0.$$
Пусть $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2+4y-5=0,$$
$$D=16+20=36,$$
$$y_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-4+6}{2}=1.$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$y=-5$$ не подходит. Остаётся
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
г)
$$ (3x-2)^4+9x^2-12x=16.$$
Заметим, что $$9x^2-12x+4=(3x-2)^2$$. Тогда
$$ (3x-2)^4+(3x-2)^2-20=0.$$
Пусть $$y=(3x-2)^2$$. Получаем
$$y^2+y-20=0,$$
$$D=1+80=81,$$
$$y_1=\frac{-1-9}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-1+9}{2}=4.$$
Так как $$y=(3x-2)^2\ge 0$$, значение $$y=-5$$ не подходит. Тогда
$$ (3x-2)^2=4,$$
$$3x-2=\pm 2.$$
Отсюда
$$x=0,\qquad x=\frac{4}{3}.$$