Упр.28.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) рис. 158, а; б) рис. 158, б. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
а) v(x^2-2x+2)+log_3(v(x^2-2x+10))=2;
б) (x-7)^2+log_5(v(x^2-14x+74))=1.

1. а) По графику площадь под кривой на отрезке $$[a;b]$$ складывается из трёх простых фигур:

   $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=4\cdot 4+\frac12\cdot 4\cdot 2+\frac12\cdot 2\cdot 6.$$

   $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=16+4+6=26.$$

2. б) Аналогично:

   $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=5\cdot 3+\frac12\cdot 3\cdot 2+\frac12\cdot 2\cdot 1.$$

   $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=15+3+1=19.$$

3. а) Решим уравнение

   $$\sqrt{x^2-2x+2}+\log_3\sqrt{x^2-2x+10}=2.$$

   Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

   $$x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1,$$
   значит
   $$\sqrt{x^2-2x+2}\ge 1.$$

   $$x^2-2x+10=(x-1)^2+9\ge 9,$$
   значит
   $$\sqrt{x^2-2x+10}\ge 3,\qquad \log_3\sqrt{x^2-2x+10}\ge 1.$$

   Следовательно, левая часть уравнения не меньше $$2$$. Равенство возможно только при одновременном выполнении

   $$\sqrt{x^2-2x+2}=1,\qquad \log_3\sqrt{x^2-2x+10}=1.$$

   Из первого:

   $$x^2-2x+2=1 \;\Rightarrow\; (x-1)^2=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

   Проверка:

   $$\sqrt{1-2+2}=1,\qquad \log_3\sqrt{1-2+10}=\log_3 3=1.$$

4. б) Решим уравнение

   $$ (x-7)^2+\log_5\sqrt{x^2-14x+74}=1.$$

   $$x^2-14x+74=(x-7)^2+25\ge 25,$$
   значит
   $$\sqrt{x^2-14x+74}\ge 5,\qquad \log_5\sqrt{x^2-14x+74}\ge 1.$$

   Кроме того,

   $$(x-7)^2\ge 0.$$

   Следовательно, левая часть не меньше $$1$$. Равенство достигается только при

   $$(x-7)^2=0,\qquad \log_5\sqrt{x^2-14x+74}=1.$$

   Из первого получаем:

   $$x=7.$$

   Проверка:

   $$ (7-7)^2+\log_5\sqrt{49-98+74}=0+\log_5 5=1.$$

Ответ

а) $$26$$; б) $$19$$; а) $$1$$; б) $$7$$.