Упр.28.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Независимо испытывают два прибора, время безотказной работы которых имеет показательные распределения с параметрами соответственно 0,1 и 0,2. Найдите вероятность того, что за время от 0 до 6: а) откажет прибор № 1; б) оба прибора не откажут; в) откажет только прибор № 1; г) прибор № 2 не откажет; д) оба прибора откажут; е) не откажет только прибор № 1.
Решите уравнение, используя функционально-графические методы: а) $$\log_{\frac{1}{3}}(x^2-4x+13)=\cos\frac{5\pi x}{2}+\sin\frac{3\pi x}{4}$$; б) $$\log_4(x^2-2x+17)=\sin\frac{5\pi x}{2}+\cos(8\pi x)$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ событие «за время от $$0$$ до $$6$$ откажет прибор № 1», а через $$B$$ — событие «за это же время откажет прибор № 2».

Для показательного распределения с параметром $$\lambda$$ вероятность отказа за время $$t$$ равна

$$P=1-e^{-\lambda t}.$$

Тогда

$$P(A)=1-e^{-0{,}1\cdot 6}=1-e^{-0{,}6}\approx 0{,}451,$$

$$P(B)=1-e^{-0{,}2\cdot 6}=1-e^{-1{,}2}\approx 0{,}699.$$

Так как приборы испытывают независимо, получаем:

а) откажет прибор № 1:
$$P=P(A)\approx 0{,}451.$$
б) оба прибора не откажут:
$$P=(1-P(A))(1-P(B))=0{,}549\cdot 0{,}301\approx 0{,}165.$$
в) откажет только прибор № 1:
$$P=P(A)(1-P(B))=0{,}451\cdot 0{,}301\approx 0{,}136.$$
г) прибор № 2 не откажет:
$$P=1-P(B)\approx 0{,}301.$$
д) оба прибора откажут:
$$P=P(A)P(B)=0{,}451\cdot 0{,}699\approx 0{,}315.$$
е) не откажет только прибор № 1:
$$P=(1-P(A))P(B)=0{,}549\cdot 0{,}699\approx 0{,}384.$$