Упр.28.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Для случайной величины $$Z$$ с показательным распределением найдите вероятность:
а) $$P(Z = 0)$$; г) $$P(Z \mathbin{?} 0)$$; б) $$P(Z \mathbin{?} 0)$$; д) $$P(Z = M(Z))$$; в) $$P(Z \mathbin{?} M(Z))$$; е) $$P(Z \mathbin{?} M(Z))$$.
Задание учебника 2022 года. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
а) $$5^v(1-\operatorname{tg}(2{,}5?x))=20x-100x^2$$;
б) $$\log_2(12x-4x^2-5)=3+\cos(2?x)$$;
в) $$0{,}5x^2+16=2^{3+\cos(?x)}$$;
г) $$5-\lvert 2x^2-15x+7\rvert=\frac{5}{\cos^2(?x)}$$.
- Для показательного распределения случайная величина $$Z$$ принимает только неотрицательные значения, поэтому
$$P(Z=0)=0,$$
$$P(Z\ge 0)=1,$$
$$P(Z\le 0)=0.$$
Математическое ожидание показательного распределения равно $$M(Z)=\frac{1}{\lambda}$$. Тогда
$$P(Z\le M(Z))=1-e^{-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda}}=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e},$$
$$P(Z=M(Z))=0,$$
$$P(Z\ge M(Z))=e^{-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda}}=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$ а) $$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}=20x-100x^2.$$
Правая часть не превосходит $$1$$, так как
$$20x-100x^2\le 1,$$
и равенство достигается при
$$x=\frac{20}{2\cdot 100}=0{,}1.$$
Левая часть не меньше $$1$$, поскольку $$\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}\ge 0$$, значит
$$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}\ge 1.$$
Чтобы уравнение было верным, обе части должны быть равны $$1$$. Тогда
$$x=0{,}1.$$
б) $$\log_2(12x-4x^2-5)=3+\cos(2\pi x).$$
Левая часть не больше $$2$$, если
$$12x-4x^2-5\le 4.$$
Правая часть не меньше $$2$$, так как
$$3+\cos(2\pi x)\ge 2.$$
Следовательно, обе части должны быть равны $$2$$:
$$\log_2(12x-4x^2-5)=2,$$
$$3+\cos(2\pi x)=2.$$
Из первого уравнения получаем
$$12x-4x^2-5=4,$$
$$4x^2-12x+9=0,$$
$$x=\frac{3}{2}.$$
Проверка: при $$x=\frac{3}{2}$$ действительно
$$12x-4x^2-5=4,$$
$$\log_2 4=2,$$
$$3+\cos(3\pi)=2.$$
в) $$0{,}5x^2+16=2^{3+\cos(\pi x)}.$$
Левая часть не меньше $$16$$, так как $$0{,}5x^2\ge 0$$.
Правая часть не больше $$16$$, поскольку $$\cos(\pi x)\le 1$$, значит
$$2^{3+\cos(\pi x)}\le 2^4=16.$$
Равенство возможно только при
$$0{,}5x^2+16=16,$$
откуда
$$x=0.$$
г) $$5-|2x^2-15x+7|=\frac{5}{\cos^2(\pi x)}.$$
Правая часть не меньше $$5$$, так как
$$0<\cos^2(\pi x)\le 1,$$
следовательно,
$$\frac{5}{\cos^2(\pi x)}\ge 5.$$
Левая часть не больше $$5$$, потому что
$$|2x^2-15x+7|\ge 0,$$
значит
$$5-|2x^2-15x+7|\le 5.$$
Следовательно, обе части равны $$5$$:
$$|2x^2-15x+7|=0,$$
$$\cos^2(\pi x)=1.$$
Из первого уравнения
$$2x^2-15x+7=0,$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 7=169,$$
$$x_1=\frac{15-13}{4}=0{,}5,\qquad x_2=\frac{15+13}{4}=7.$$
Из второго уравнения подходят только целые значения, поэтому из найденных корней подходит
$$x=7.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$\frac{3}{2}$$; в) $$0$$; г) $$7$$.
