Упр.28.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) P(Z = 0); г) P(Z ? 0);
б) P(Z ? 0); д) P(Z = M(Z));
в) P(Z ? M(Z)); е) P(Z ? M(Z)). Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
а) 5^v(1-tg(2,5?x))=20x-100x^2;
б) log_2(12x-4x^2-5)=3+cos(2?x);
в) 0,5x^2+16=2^(3+cos(?x));
г) 5-|2x^2-15x+7|=5/cos^2(?x)).

1. Для показательного распределения случайная величина $$Z$$ принимает только неотрицательные значения, поэтому
   $$P(Z=0)=0,$$
   $$P(Z\ge 0)=1,$$
   $$P(Z\le 0)=0.$$
   Математическое ожидание показательного распределения равно $$M(Z)=\frac{1}{\lambda}$$. Тогда
   $$P(Z\le M(Z))=1-e^{-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda}}=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e},$$
   $$P(Z=M(Z))=0,$$
   $$P(Z\ge M(Z))=e^{-\lambda \cdot \frac{1}{\lambda}}=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$

2. а) $$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}=20x-100x^2.$$

   Правая часть не превосходит $$1$$, так как

   $$20x-100x^2\le 1,$$

   и равенство достигается при

   $$x=\frac{20}{2\cdot 100}=0{,}1.$$

   Левая часть не меньше $$1$$, поскольку $$\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}\ge 0$$, значит

   $$5^{\sqrt{1-\tg(2{,}5\pi x)}}\ge 1.$$

   Чтобы уравнение было верным, обе части должны быть равны $$1$$. Тогда

   $$x=0{,}1.$$

3. б) $$\log_2(12x-4x^2-5)=3+\cos(2\pi x).$$

   Левая часть не больше $$2$$, если

   $$12x-4x^2-5\le 4.$$

   Правая часть не меньше $$2$$, так как

   $$3+\cos(2\pi x)\ge 2.$$

   Следовательно, обе части должны быть равны $$2$$:

   $$\log_2(12x-4x^2-5)=2,$$

   $$3+\cos(2\pi x)=2.$$

   Из первого уравнения получаем

   $$12x-4x^2-5=4,$$

   $$4x^2-12x+9=0,$$

   $$x=\frac{3}{2}.$$

   Проверка: при $$x=\frac{3}{2}$$ действительно

   $$12x-4x^2-5=4,$$

   $$\log_2 4=2,$$

   $$3+\cos(3\pi)=2.$$

4. в) $$0{,}5x^2+16=2^{3+\cos(\pi x)}.$$

   Левая часть не меньше $$16$$, так как $$0{,}5x^2\ge 0$$.

   Правая часть не больше $$16$$, поскольку $$\cos(\pi x)\le 1$$, значит

   $$2^{3+\cos(\pi x)}\le 2^4=16.$$

   Равенство возможно только при

   $$0{,}5x^2+16=16,$$

   откуда

   $$x=0.$$

5. г) $$5-|2x^2-15x+7|=\frac{5}{\cos^2(\pi x)}.$$

   Правая часть не меньше $$5$$, так как

   $$0<\cos^2(\pi x)\le 1,$$

   следовательно,

   $$\frac{5}{\cos^2(\pi x)}\ge 5.$$

   Левая часть не больше $$5$$, потому что

   $$|2x^2-15x+7|\ge 0,$$

   значит

   $$5-|2x^2-15x+7|\le 5.$$

   Следовательно, обе части равны $$5$$:

   $$|2x^2-15x+7|=0,$$

   $$\cos^2(\pi x)=1.$$

   Из первого уравнения

   $$2x^2-15x+7=0,$$

   $$D=15^2-4\cdot 2\cdot 7=169,$$

   $$x_1=\frac{15-13}{4}=0{,}5,\qquad x_2=\frac{15+13}{4}=7.$$

   Из второго уравнения подходят только целые значения, поэтому из найденных корней подходит

   $$x=7.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac{3}{2}$$; в) $$0$$; г) $$7$$.