Упр.28.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) P(T = 0); г) P(T = 3,14);
б) P(T < 1); д) P(T ? 2);
в) P(1 ? T < 2); е) P(|T - 3| ? 1). Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
а) v(20-4x)=4(2x-7)^3-2;
б) (81^x)^(1/7)=v(1-4x);
в) v(17-2x)=3,5+4(3x-1)^3;
г) (16^(x-3))^(1/9)=v(13-4x).
Пусть $$T$$ — время безотказной работы двигателя. Для показательного распределения
$$\lambda=\frac{1}{\mathbb{E}T}=\frac{1}{100}=0{,}01.$$
Тогда
$$P(T<t)=1-e^{-0{,}01t}, \qquad P(T\ge t)=e^{-0{,}01t}.$$
Найдём требуемые вероятности:
а) для непрерывной случайной величины
$$P(T=0)=0;$$
б)
$$P(T<1)=1-e^{-0{,}01}\approx 0{,}01;$$
в)
$$P(1\le T<2)=P(T<2)-P(T<1)=\left(1-e^{-0{,}02}\right)-\left(1-e^{-0{,}01}\right)=e^{-0{,}01}-e^{-0{,}02}\approx 0{,}01;$$
г)
$$P(T=3{,}14)=0;$$
д)
$$P(T\ge 2)=e^{-0{,}02}\approx 0{,}98;$$
е)
$$P(|T-3|\ge 1)=P(T\le 2)+P(T\ge 4).$$
Тогда
$$P(|T-3|\ge 1)=\left(1-e^{-0{,}02}\right)+e^{-0{,}04}\approx 0{,}02+0{,}961=0{,}981.$$
Решим уравнения функционально-графическим методом.
а) $$\sqrt{20-4x}=4(2x-7)^3-2.$$
Функция $$f(x)=\sqrt{20-4x}$$ убывает на $$(-\infty;5]$$, а функция $$g(x)=4(2x-7)^3-2$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно. Проверим $$x=4$$:
$$\sqrt{20-16}=\sqrt{4}=2,$$
$$4(8-7)^3-2=4\cdot 1-2=2.$$
Следовательно, $$x=4.$$
б) $$\sqrt[7]{81^x}=\sqrt{1-4x}.$$
Функция $$f(x)=\sqrt[7]{81^x}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\sqrt{1-4x}$$ убывает на $$(-\infty;\tfrac14]$$, поэтому решение единственно. Проверим $$x=0$$:
$$\sqrt[7]{81^0}=\sqrt[7]{1}=1,$$
$$\sqrt{1-4\cdot 0}=1.$$
Значит, $$x=0.$$
в) $$\sqrt{17-2x}=3{,}5+4(3x-1)^3.$$
Функция $$f(x)=\sqrt{17-2x}$$ убывает на $$(-\infty;8{,}5]$$, а функция $$g(x)=3{,}5+4(3x-1)^3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно. Проверим $$x=0{,}5$$:
$$\sqrt{17-2\cdot 0{,}5}=\sqrt{16}=4,$$
$$3{,}5+4(1{,}5-1)^3=3{,}5+4\cdot 0{,}5^3=3{,}5+0{,}5=4.$$
Следовательно, $$x=0{,}5.$$
г) $$\sqrt[9]{16^{x-3}}=\sqrt{13-4x}.$$
Функция $$f(x)=\sqrt[9]{16^{x-3}}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\sqrt{13-4x}$$ убывает на $$(-\infty;3{,}25]$$, поэтому решение единственно. Проверим $$x=3$$:
$$\sqrt[9]{16^{3-3}}=\sqrt[9]{1}=1,$$
$$\sqrt{13-4\cdot 3}=\sqrt{1}=1.$$
Значит, $$x=3.$$
Ответ
а) $$0;\ 1;\ 0;\ 0;\ 0{,}98;\ 0{,}981$$; б) $$4;\ 0;\ 0{,}5;\ 3$$.
