Упр.28.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) P(U = M(U)); г) P(U ? M(U));
б) P(U ? 0); д) P(U < M(U)); в) P(U < 2); е) P(U ? M(U)). Решите уравнение, используя функционально-графические методы: а) (x-2)^(5/6)=log_3(x); в) log_4(x)=(x-3)^(7/3); б) 3^x=11-x; г) (1/4)^x=x+5.

Подробный ответ

Пусть $$U$$ — случайная величина, распределённая по Пуассону, и $$M(U)=2{,}5$$. Тогда

$$P(U=k)=\frac{2{,}5^k}{k!}e^{-2{,}5}.$$

а) Так как для пуассоновской случайной величины вероятность принять ровно значение математического ожидания не равна нулю, то

$$P(U=M(U))=P(U=2{,}5)=0.$$

б)

$$P(U\ge 0)=1.$$

в)

$$P(U<2)=P(U=0)+P(U=1).$$

$$P(0)=\frac{2{,}5^0}{0!}e^{-2{,}5}=e^{-2{,}5}\approx 0{,}082,$$

$$P(1)=\frac{2{,}5^1}{1!}e^{-2{,}5}=2{,}5e^{-2{,}5}\approx 0{,}205.$$

$$P(U<2)\approx 0{,}082+0{,}205=0{,}287.$$

г)

$$P(U\ne M(U))=1.$$

д)

$$P(U<M(U))=P(U<2{,}5)=P(0)+P(1)+P(2).$$

$$P(2)=\frac{2{,}5^2}{2!}e^{-2{,}5}=3{,}125e^{-2{,}5}\approx 0{,}257.$$

$$P(U<M(U))\approx 0{,}082+0{,}205+0{,}257=0{,}544.$$

е)

$$P(U\ge M(U))=1-P(U<M(U))\approx 1-0{,}544=0{,}456.$$

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(x-2\right)^{\frac56}=\log_3 x.$$

Область определения: $$x\ge 2$$. По графикам функций видно, что они пересекаются в одной точке при $$x=3$$.

Проверка:
$$\left(3-2\right)^{\frac56}=1,\qquad \log_3 3=1.$$

Значит, $$x=3$$.

б) Решим уравнение

$$3^x=11-x.$$

Функция $$f(x)=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=11-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поэтому уравнение имеет единственное решение. Проверим $$x=2$$:

$$3^2=9,\qquad 11-2=9.$$

Следовательно, $$x=2$$.

в) Решим уравнение

$$\log_4 x=\left(x-3\right)^{\frac73}.$$

Область определения: $$x\ge 3$$. По графикам функций видно, что они пересекаются в точке $$x=4$$.

Проверка:
$$\log_4 4=1,\qquad \left(4-3\right)^{\frac73}=1.$$

Значит, $$x=4$$.

г) Решим уравнение

$$\left(\frac14\right)^x=x+5.$$

Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=x+5$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, поэтому решение единственно. Проверим $$x=-1$$:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -1+5=4.$$

Следовательно, $$x=-1$$.