Упр.28.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ноль учебников; г) 3 учебника;
б) более одного учебника; д) менее двух учебников;
в) 4 или 6 учебников; е) не 2 и не 3 учебника. Решите уравнение:
а) 5^(7x-3)(sin(2x)-v2/2)log_0,5(x+1)=0;
б) (sin(x)+cos(x))(x-8v(2x-15))=0.

Пусть число бракованных учебников на обложке имеет распределение Пуассона. Тогда

$$p=0{,}0003,\quad n=10000,\quad \lambda=np=3.$$

Искомая вероятность:

$$P(k)=\frac{3^k}{k!}e^{-3}.$$

1. $$P(0)=\frac{3^0}{0!}e^{-3}=e^{-3}\approx 0{,}050.$$

2. $$P(1)=\frac{3^1}{1!}e^{-3}=3e^{-3}\approx 0{,}149.$$

   Тогда вероятность того, что бракованных учебников более одного:

   $$P(>1)=1-P(0)-P(1)\approx 1-0{,}050-0{,}149=0{,}801.$$

3. $$P(4)=\frac{3^4}{4!}e^{-3}=\frac{27}{8}e^{-3}\approx 0{,}168,$$

   $$P(6)=\frac{3^6}{6!}e^{-3}=\frac{81}{80}e^{-3}\approx 0{,}050.$$

   Тогда

   $$P(4\text{ или }6)=P(4)+P(6)\approx 0{,}218.$$

4. $$P(3)=\frac{3^3}{3!}e^{-3}=\frac{9}{2}e^{-3}\approx 0{,}224.$$

5. Вероятность того, что бракованных учебников менее двух:

   $$P(<2)=P(0)+P(1)\approx 0{,}050+0{,}149=0{,}199\approx 0{,}2.$$

6. Вероятность того, что бракованных учебников не 2 и не 3:

   $$P(\ne 2,\ne 3)=1-P(2)-P(3).$$

   $$P(2)=\frac{3^2}{2!}e^{-3}=\frac{9}{2}e^{-3}\approx 0{,}224,$$

   поэтому

   $$P(\ne 2,\ne 3)\approx 1-0{,}224-0{,}224=0{,}552.$$

Решим уравнения.

а)

$$5^{7x-3}\left(\sin 2x-\frac{\sqrt2}{2}\right)\log_{0{,}5}(x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\sin 2x-\frac{\sqrt2}{2}=0 \quad \text{или} \quad \log_{0{,}5}(x+1)=0.$$

Из первого:

$$\sin 2x=\frac{\sqrt2}{2},$$

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго:

$$x+1=1,\quad x=0.$$

С учётом области определения $$x>-1$$ получаем:

$$x=0,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\left(\sin x+\cos x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0.$$

Тогда

$$\sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad x-8\sqrt{2x-15}=0.$$

Из первого:

$$\tan x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго, с учётом области определения $$2x-15\ge 0,$$ имеем:

$$x=8\sqrt{2x-15}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=64(2x-15),$$

$$x^2-128x+960=0.$$

$$D=128^2-4\cdot 960=12544,$$

$$x_{1,2}=\frac{128\pm 112}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=8,\quad x_2=120.$$

Оба корня подходят области определения.

Ответ

а) $$0;\; (-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$8;\; 120;\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$