Упр.27.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
После успешного прохождения первого уровня компьютерной игры на мониторе запускается лотерейный барабан, в котором 2 белых и 8 чёрных одинаковых по размеру шаров. Если выпадает белый шар, то игрок переходит сразу на третий уровень и это — «успех». Если выпадает чёрный шар, то игрок переходит на второй уровень и это — «неудача».
26.5. Найдите:
- а) вероятность $$p$$ «успеха»;
- б) вероятность $$q$$ «неудачи»;
- в) среднее $$np$$ для $$n=10\,000$$ повторений;
- г) среднее квадратическое $$\sqrt{npq}$$;
- д) границы $$a$$ и $$b$$ при отклонении $$k$$ от $$np$$ не более чем на 40;
- е) вероятность $$P_n(a\leq k\leq b)$$.
Докажите, что уравнение не имеет корней:
- а) $$\sqrt{16-x^2}=\sqrt{3x-13}$$;
- б) $$\ln(8x-22)=\ln(13-6x)$$;
- в) $$\log_2(x^2-7)+\log_2(5-x^2)=3$$;
- г) $$\ln(-3x-5)=\ln(9-4x^2)$$;
- д) $$\sqrt{5x-11}=\sqrt{13-7x}$$;
- е) $$\lg(x^2-5x)+\lg(7x-2x^2)=0{,}25$$.
Пусть в барабане всего $$2+8=10$$ шаров.
а) Вероятность успеха:
$$p=\frac{2}{10}=0{,}2.$$
б) Вероятность неудачи:
$$q=\frac{8}{10}=0{,}8.$$
в) Для $$n=10000$$ среднее число успехов:
$$np=10000\cdot 0{,}2=2000.$$
г) Среднее квадратическое:
$$\sqrt{npq}=\sqrt{10000\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{1600}=40.$$
д) При отклонении от $$np$$ не более чем на $$40$$:
$$a=2000-40=1960,$$
$$b=2000+40=2040.$$
е) Тогда
$$P_{10000}(1960\le k\le 2040)=\Phi\!\left(\frac{2040-2000}{40}\right)-\Phi\!\left(\frac{1960-2000}{40}\right).$$
Так как $$\Phi(1)=0{,}3413,$$ то
$$P_{10000}(1960\le k\le 2040)=\Phi(1)+\Phi(1)=2\cdot 0{,}3413=0{,}6826.$$
2. Докажем, что уравнения не имеют корней.
а) $$\sqrt{16-x^2}=\sqrt{3x-13}.$$
Область определения:
$$16-x^2\ge 0,\qquad 3x-13\ge 0.$$
Отсюда
$$-4\le x\le 4,\qquad x\ge \frac{13}{3}.$$
Эти условия несовместны, значит, корней нет.
б) $$\ln(8x-22)=\ln(13-6x).$$
Область определения:
$$8x-22>0,\qquad 13-6x>0.$$
То есть
$$x>\frac{11}{4},\qquad x<\frac{13}{6}.$$
Эти условия несовместны, значит, корней нет.
в) $$\log_2(x^2-7)+\log_2(5-x^2)=3.$$
Область определения:
$$x^2-7>0,\qquad 5-x^2>0.$$
То есть
$$x^2>7,\qquad x^2<5.$$
Одновременно это невозможно, значит, корней нет.
г) $$\ln(-3x-5)=\ln(9-4x^2).$$
Область определения:
$$-3x-5>0,\qquad 9-4x^2>0.$$
То есть
$$x<-\frac{5}{3},\qquad -\frac{3}{2}<x<\frac{3}{2}.$$
Эти условия несовместны, значит, корней нет.
д) $$\sqrt{5x-11}=\sqrt{13-7x}.$$
Область определения:
$$5x-11\ge 0,\qquad 13-7x\ge 0.$$
То есть
$$x\ge \frac{11}{5},\qquad x\le \frac{13}{7}.$$
Так как $$\frac{11}{5}>\frac{13}{7},$$ общих значений нет, значит, корней нет.
е) $$\lg(x^2-5x)+\lg(7x-2x^2)=0{,}25.$$
Область определения:
$$x^2-5x>0,\qquad 7x-2x^2>0.$$
То есть
$$x(x-5)>0,\qquad x(7-2x)>0.$$
Отсюда
$$x<0 \ \text{или}\ x>5,$$
и одновременно
$$0<x<\frac{7}{2}.$$
Общих значений нет, значит, корней нет.
Ответ
а) $$0{,}2$$; б) $$0{,}8$$; в) $$2000$$; г) $$40$$; д) $$1960,\ 2040$$; е) $$0{,}6826$$. Во всех уравнениях корней нет.
