Упр.27.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(4x^2+3)=v(x^4+5) и 4x^2+3=x^4+5;
б) (cos^2(x)+1)^(1/4)=1 и cos(x)=0;
в) lg(x^2+4)=lg(x+4) и x^2+4=x+4;
г) v(3^x+12)=v(9^x+3^(x-2)) и 3^x+12=9^x+3^(x-2);
д) (sin^4(x)+1)^(1/6)=1 и sin^2(x)=0;
е) ln(x^2)=ln(x) и x^2=x.

1. Для каждого случая найдём математические ожидания числа «удач» и числа «неудач»:

   а) $$n=16,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12;$$
   $$M_{\text{усп}}=np=\frac12\cdot 16=8,\qquad M_{\text{неуд}}=nq=\frac12\cdot 16=8.$$

   б) $$n=24,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12;$$
   $$M_{\text{усп}}=np=\frac12\cdot 24=12,\qquad M_{\text{неуд}}=nq=\frac12\cdot 24=12.$$

   в) $$n=199,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12;$$
   $$M_{\text{усп}}=np=\frac12\cdot 199=99{,}5,\qquad M_{\text{неуд}}=nq=\frac12\cdot 199=99{,}5.$$

   г) $$n=500,\quad p=\frac{4}{10},\quad q=\frac{6}{10};$$
   $$M_{\text{усп}}=np=\frac{4}{10}\cdot 500=200,\qquad M_{\text{неуд}}=nq=\frac{6}{10}\cdot 500=300.$$

   д) $$n=700,\quad p=\frac{2}{7},\quad q=\frac{5}{7};$$
   $$M_{\text{усп}}=np=\frac{2}{7}\cdot 700=200,\qquad M_{\text{неуд}}=nq=\frac{5}{7}\cdot 700=500.$$

   е) $$n=735,\quad p=\frac{2}{6}=\frac13,\quad q=\frac{4}{6}=\frac23;$$
   $$M_{\text{усп}}=np=\frac13\cdot 735=245,\qquad M_{\text{неуд}}=nq=\frac23\cdot 735=490.$$

2. Проверим равносильность уравнений.

   а) $$\sqrt{4x^2+3}=\sqrt{x^4+5} \quad \text{и} \quad 4x^2+3=x^4+5.$$
   Оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому первое уравнение равносильно второму. Да.

   б) $$\sqrt[4]{\cos^2 x+1}=1 \quad \text{и} \quad \cos x=0.$$
   Из первого уравнения:
   $$\cos^2 x+1=1,$$
   $$\cos^2 x=0,$$
   $$\cos x=0.$$
   Да.

   в) $$\lg(x^2+4)=\lg(x+4) \quad \text{и} \quad x^2+4=x+4.$$
   Область определения: $$x^2+4>0$$ и $$x+4>0,$$ то есть $$x>-4.$$
   Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны их аргументы, первое уравнение равносильно второму с учётом ОДЗ. Да.

   г) $$\sqrt{3^x+12}=\sqrt{9^x+3^{x-2}} \quad \text{и} \quad 3^x+12=9^x+3^{x-2}.$$
   Подкоренные выражения положительны, значит первое уравнение равносильно второму. Да.

   д) $$\sqrt[6]{\sin^4 x+1}=1 \quad \text{и} \quad \sin^2 x=0.$$
   Из первого уравнения:
   $$\sin^4 x+1=1,$$
   $$\sin^4 x=0,$$
   $$\sin^2 x=0.$$
   Да.

   е) $$\ln(x^2)=\ln x \quad \text{и} \quad x^2=x.$$
   Для логарифмов нужно $$x^2>0$$ и $$x>0,$$ то есть $$x>0.$$
   Тогда из первого уравнения следует $$x^2=x,$$ но второе уравнение имеет корень $$x=0,$$ который не входит в ОДЗ первого уравнения. Значит, уравнения неравносильны. Нет.

Ответ

$$M_{\text{усп}}: 8,\ 12,\ 99{,}5,\ 200,\ 200,\ 245;$$
$$M_{\text{неуд}}: 8,\ 12,\ 99{,}5,\ 300,\ 500,\ 490.$$
Равносильны: а) да, б) да, в) да, г) да, д) да, е) нет.