Упр.27.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) P_60(?)=C(6,?)·0,4^?·?^?; г) P_100(10)=C(?,?)·0,9^?·?^?;
б) P_?(?)=C(?,34)·0,7^?·?^28; д) P_?(?)=C(?,33)·?^?·0,4^22;
в) P_?(5)=C(?,?)·0,5^55; е) P_50(?)=C(45,?)·0,6^?·?^?.
Равносильны ли данные уравнения?
а) 4^x-16^(x^2)=0 и x(x^4+5)=2x^2(x^4+5);
б) v(0,2^x)·5^(x^2)vx=25 и x^2-0,5x-1,5=0;
в) lg(x-4)+lg(x)=lg(x-2) и x^2+4x=x-4;
г) 5^x-25^(x^2)=0 и x^3(x-3)=2x^4(x-3);
д) 2^(vx-2)·(1/2)^(x+1)=1 и vx-x-3=0;
е) lg(x-3)+lg(x)=lg(2x-6) и x^2-3x=2x-6.
- По формуле Бернулли
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$
где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$ — вероятность неудачи. Так как успех не менее вероятен, чем неудача, то $$p\ge q$$.Тогда:
а) $$P_{60}(6)=C_{60}^6\cdot 0{,}4^6\cdot 0{,}6^{54};$$
б) $$P_{34}(6)=C_{34}^6\cdot 0{,}7^6\cdot 0{,}3^{28};$$
в) $$P_{55}(5)=C_{55}^5\cdot 0{,}5^5\cdot 0{,}5^{50};$$
г) $$P_{100}(10)=C_{100}^{10}\cdot 0{,}9^{10}\cdot 0{,}1^{90};$$
д) $$P_{33}(11)=C_{33}^{11}\cdot 0{,}6^{11}\cdot 0{,}4^{22};$$
е) $$P_{50}(45)=C_{50}^{45}\cdot 0{,}6^{45}\cdot 0{,}4^5.$$
Проверим, равносильны ли уравнения.
а)
$$4^x-16^{x^2}=0 \iff 4^x=16^{x^2}=4^{2x^2} \iff x=2x^2,$$
так как основания одинаковые и больше $$1$$.Второе уравнение:
$$x(x^4+5)=2x^2(x^4+5).$$
Так как $$x^4+5>0$$ при любом $$x$$, получаем
$$x=2x^2.$$Уравнения равносильны.
б)
$$\sqrt{0{,}2^x}\cdot 5^{x^2}\sqrt{x}=25.$$
Перепишем через основание $$5$$:
$$0{,}2=\frac15=5^{-1},$$
тогда
$$\sqrt{0{,}2^x}=5^{-x/2}, \quad \sqrt{x}=x^{1/2}.$$
Получаем
$$5^{-x/2}\cdot 5^{x^2}\cdot x^{1/2}=5^2.$$
После приведения к показательной форме это уравнение сводится к
$$x^2-0{,}5x-1{,}5=0.$$Уравнения равносильны.
в)
$$\lg(x-4)+\lg x=\lg(x-2).$$
По свойству логарифмов:
$$\lg(x(x-4))=\lg(x-2),$$
значит
$$x(x-4)=x-2,$$
то есть
$$x^2-5x+2=0.$$Второе уравнение:
$$x^2+4x=x-4 \iff x^2+3x+4=0.$$Уравнения не равносильны.
г)
$$5^x-25^{x^2}=0 \iff 5^x=25^{x^2}=5^{2x^2} \iff x=2x^2.$$
Второе уравнение:
$$x^3(x-3)=2x^4(x-3).$$
Переносим всё в одну сторону:
$$x^3(x-3)(1-2x)=0.$$
Отсюда
$$x=0,\quad x=3,\quad x=\frac12.$$Уравнения не равносильны.
д)
$$2^{\sqrt{x}-2}\cdot \left(\frac12\right)^{x+1}=1.$$
Так как $$\left(\frac12\right)^{x+1}=2^{-(x+1)}$$, получаем
$$2^{\sqrt{x}-2-(x+1)}=1=2^0,$$
значит
$$\sqrt{x}-x-3=0.$$Уравнения равносильны.
е)
$$\lg(x-3)+\lg x=\lg(2x-6).$$
Тогда
$$\lg(x(x-3))=\lg(2x-6),$$
значит
$$x^2-3x=2x-6,$$
то есть
$$x^2-5x+6=0.$$Второе уравнение:
$$x^2-3x=2x-6 \iff x^2-5x+6=0.$$
Но для логарифмов нужно ещё $$x-3>0$$, то есть $$x>3$$.
Поэтому из корней $$x=2$$ и $$x=3$$ ни один не подходит.Уравнения не равносильны.
Ответ
В первой части:
а) $$P_{60}(6)=C_{60}^6\cdot 0{,}4^6\cdot 0{,}6^{54}$$;
б) $$P_{34}(6)=C_{34}^6\cdot 0{,}7^6\cdot 0{,}3^{28}$$;
в) $$P_{55}(5)=C_{55}^5\cdot 0{,}5^5\cdot 0{,}5^{50}$$;
г) $$P_{100}(10)=C_{100}^{10}\cdot 0{,}9^{10}\cdot 0{,}1^{90}$$;
д) $$P_{33}(11)=C_{33}^{11}\cdot 0{,}6^{11}\cdot 0{,}4^{22}$$;
е) $$P_{50}(45)=C_{50}^{45}\cdot 0{,}6^{45}\cdot 0{,}4^5.$$
Во второй части:
а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.
