Упр.27.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. По формуле Бернулли
   $$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$
   где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$ — вероятность неудачи. Так как успех не менее вероятен, чем неудача, то $$p\ge q$$.

   Тогда:

   а) $$P_{60}(6)=C_{60}^6\cdot 0{,}4^6\cdot 0{,}6^{54};$$

   б) $$P_{34}(6)=C_{34}^6\cdot 0{,}7^6\cdot 0{,}3^{28};$$

   в) $$P_{55}(5)=C_{55}^5\cdot 0{,}5^5\cdot 0{,}5^{50};$$

   г) $$P_{100}(10)=C_{100}^{10}\cdot 0{,}9^{10}\cdot 0{,}1^{90};$$

   д) $$P_{33}(11)=C_{33}^{11}\cdot 0{,}6^{11}\cdot 0{,}4^{22};$$

   е) $$P_{50}(45)=C_{50}^{45}\cdot 0{,}6^{45}\cdot 0{,}4^5.$$

2. Проверим, равносильны ли уравнения.

   а)

   $$4^x-16^{x^2}=0 \iff 4^x=16^{x^2}=4^{2x^2} \iff x=2x^2,$$
   так как основания одинаковые и больше $$1$$.

   Второе уравнение:
   $$x(x^4+5)=2x^2(x^4+5).$$
   Так как $$x^4+5>0$$ при любом $$x$$, получаем
   $$x=2x^2.$$

   Уравнения равносильны.

   б)

   $$\sqrt{0{,}2^x}\cdot 5^{x^2}\sqrt{x}=25.$$
   Перепишем через основание $$5$$:
   $$0{,}2=\frac15=5^{-1},$$
   тогда
   $$\sqrt{0{,}2^x}=5^{-x/2}, \quad \sqrt{x}=x^{1/2}.$$
   Получаем
   $$5^{-x/2}\cdot 5^{x^2}\cdot x^{1/2}=5^2.$$
   После приведения к показательной форме это уравнение сводится к
   $$x^2-0{,}5x-1{,}5=0.$$

   Уравнения равносильны.

   в)

   $$\lg(x-4)+\lg x=\lg(x-2).$$
   По свойству логарифмов:
   $$\lg(x(x-4))=\lg(x-2),$$
   значит
   $$x(x-4)=x-2,$$
   то есть
   $$x^2-5x+2=0.$$

   Второе уравнение:
   $$x^2+4x=x-4 \iff x^2+3x+4=0.$$

   Уравнения не равносильны.

   г)

   $$5^x-25^{x^2}=0 \iff 5^x=25^{x^2}=5^{2x^2} \iff x=2x^2.$$

   Второе уравнение:
   $$x^3(x-3)=2x^4(x-3).$$
   Переносим всё в одну сторону:
   $$x^3(x-3)(1-2x)=0.$$
   Отсюда
   $$x=0,\quad x=3,\quad x=\frac12.$$

   Уравнения не равносильны.

   д)

   $$2^{\sqrt{x}-2}\cdot \left(\frac12\right)^{x+1}=1.$$
   Так как $$\left(\frac12\right)^{x+1}=2^{-(x+1)}$$, получаем
   $$2^{\sqrt{x}-2-(x+1)}=1=2^0,$$
   значит
   $$\sqrt{x}-x-3=0.$$

   Уравнения равносильны.

   е)

   $$\lg(x-3)+\lg x=\lg(2x-6).$$
   Тогда
   $$\lg(x(x-3))=\lg(2x-6),$$
   значит
   $$x^2-3x=2x-6,$$
   то есть
   $$x^2-5x+6=0.$$

   Второе уравнение:
   $$x^2-3x=2x-6 \iff x^2-5x+6=0.$$
   Но для логарифмов нужно ещё $$x-3>0$$, то есть $$x>3$$.
   Поэтому из корней $$x=2$$ и $$x=3$$ ни один не подходит.

   Уравнения не равносильны.

Ответ

В первой части:
а) $$P_{60}(6)=C_{60}^6\cdot 0{,}4^6\cdot 0{,}6^{54}$$;
б) $$P_{34}(6)=C_{34}^6\cdot 0{,}7^6\cdot 0{,}3^{28}$$;
в) $$P_{55}(5)=C_{55}^5\cdot 0{,}5^5\cdot 0{,}5^{50}$$;
г) $$P_{100}(10)=C_{100}^{10}\cdot 0{,}9^{10}\cdot 0{,}1^{90}$$;
д) $$P_{33}(11)=C_{33}^{11}\cdot 0{,}6^{11}\cdot 0{,}4^{22}$$;
е) $$P_{50}(45)=C_{50}^{45}\cdot 0{,}6^{45}\cdot 0{,}4^5.$$

Во второй части:
а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.