Упр.27.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

По формуле Бернулли вероятность ровно $$k$$ успехов в $$n$$ испытаниях равна

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$

где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$.

1. а) 6 орлов при 16 бросаниях монеты:

   $$n=16,\quad k=6,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

   $$P_{16}(6)=C_{16}^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{10}.$$

2. б) 4 решки при 24 бросаниях монеты:

   $$n=24,\quad k=4,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

   $$P_{24}(4)=C_{24}^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{20}.$$

3. в) 99 нечётных чисел при 199 независимых выборах чисел от 0 до 9:

   Нечётных чисел 5 из 10, значит

   $$n=199,\quad k=99,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

   $$P_{199}(99)=C_{199}^{99}\left(\frac12\right)^{99}\left(\frac12\right)^{100}.$$

4. г) 50 чисел, кратных трём, при 500 выборах чисел от 0 до 9:

   Кратных 3 чисел 4 из 10, значит

   $$n=500,\quad k=50,\quad p=\frac{4}{10},\quad q=\frac{6}{10}.$$

   $$P_{500}(50)=C_{500}^{50}\left(\frac{4}{10}\right)^{50}\left(\frac{6}{10}\right)^{450}.$$

5. д) 170 неудач при опросе 700 человек, если удачными считаются суббота и воскресенье:

   Тогда вероятность удачи $$p=\frac27,$$ а неудачи $$q=\frac57.$$

   $$n=700,\quad k=170,\quad p=\frac57,\quad q=\frac27.$$

   $$P_{700}(170)=C_{700}^{170}\left(\frac57\right)^{170}\left(\frac27\right)^{530}.$$

6. е) 573 удачных броска кубика из 735, если удача — выпадение 5 или 6 очков:

   $$p=\frac26=\frac13,\quad q=\frac46=\frac23,\quad n=735,\quad k=573.$$

   $$P_{735}(573)=C_{735}^{573}\left(\frac26\right)^{573}\left(\frac46\right)^{162}.$$

Проверим равносильность уравнений.

1. а) $$\frac{x^2+5x-3}{2x^2+1}=3$$ и $$x^2+5x-3=6x^2+3.$$

   Так как $$2x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ умножение на знаменатель равносильно. Уравнения равносильны.

   Ответ: да.

2. б) $$\frac{x^2}{\sqrt{x}}=1$$ и $$x^2=\sqrt{x}.$$

   ОДЗ: $$x>0.$$ При умножении на $$\sqrt{x}$$ получаем $$x^2=\sqrt{x},$$ но при этом значение $$x=0$$ не входит в ОДЗ исходного уравнения. Уравнения не равносильны.

   Ответ: нет.

3. в) $$\frac{\sin x}{\cos x-1}=1$$ и $$\sin x=\cos x-1.$$

   В исходном уравнении обязательно $$\cos x-1\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne 1.$$ После преобразования это ограничение теряется, поэтому уравнения не равносильны.

   Ответ: нет.

4. г) $$\frac{x^2-4x-3}{x^2-1}=2$$ и $$x^2-4x-3=2x^2-2.$$

   ОДЗ: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$ При умножении на $$x^2-1$$ получаем второе уравнение. Корни второго уравнения $$x=2\pm\sqrt7$$ не нарушают ОДЗ, значит уравнения равносильны.

   Ответ: да.

5. д) $$\frac{x^3}{\sqrt{x}+2}=1$$ и $$x^3=\sqrt{x}+2.$$

   ОДЗ: $$x\ge 0,$$ а $$\sqrt{x}+2>0$$ при любых допустимых $$x.$$ Умножение на знаменатель равносильно, значит уравнения равносильны.

   Ответ: да.

6. е) $$\frac{\sin x+1}{\sin x+3}=0{,}5$$ и $$2\sin x+2=\sin x+3.$$

   Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то $$\sin x+3\ne 0.$$ Умножение на знаменатель равносильно, значит уравнения равносильны.

   Ответ: да.

Ответ

а) $$P_{16}(6)=C_{16}^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{10}$$; б) $$P_{24}(4)=C_{24}^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{20}$$; в) $$P_{199}(99)=C_{199}^{99}\left(\frac12\right)^{99}\left(\frac12\right)^{100}$$; г) $$P_{500}(50)=C_{500}^{50}\left(\frac{4}{10}\right)^{50}\left(\frac{6}{10}\right)^{450}$$; д) $$P_{700}(170)=C_{700}^{170}\left(\frac57\right)^{170}\left(\frac27\right)^{530}$$; е) $$P_{735}(573)=C_{735}^{573}\left(\frac26\right)^{573}\left(\frac46\right)^{162}$$.

Равносильны: а) да, б) нет, в) нет, г) да, д) да, е) да.