Упр.27.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) 6 «орлов» при 16 бросаниях монеты;
б) 4 «решек» при 24 бросаниях монеты;
в) 99 нечётных чисел при 199 независимых выборах целых чисел от 0 до 9;
г) 50 чисел, кратных трём, при 500 независимых выборах целых чисел от 0 до 9;
д) 170 «неудач» при опросе 700 человек, произвольно называющих день недели, если считать «удачными» днями субботу и воскресенье;
е) 573 «удачных» из 735 бросаний кубика; «удачей» считаем выпадение 5 или 6 очков. Равносильны ли данные уравнения?
а) (x^2+5x-3)/(2x^2+1)=3 и x^2+5x-3=6x^2+3;
б) x^2/vx=1 и x^2=vx;
в) sin(x)/(cos(x)-1) и sin(x)=cos(x)-1;
г) (x^2-4x-3)/(x^2-1)=2 и x^2-4x-3=2x^2-2;
д) x^3/(vx+2)=1 и x^3=vx+2;
е) (sin(x)+1)/(sin(x)+3)=0,5 и 2sin(x)+2=sin(x)+3.
По формуле Бернулли вероятность ровно $$k$$ успехов в $$n$$ испытаниях равна
$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k},$$
где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$.
а) 6 орлов при 16 бросаниях монеты:
$$n=16,\quad k=6,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$
$$P_{16}(6)=C_{16}^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{10}.$$
б) 4 решки при 24 бросаниях монеты:
$$n=24,\quad k=4,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$
$$P_{24}(4)=C_{24}^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{20}.$$
в) 99 нечётных чисел при 199 независимых выборах чисел от 0 до 9:
Нечётных чисел 5 из 10, значит
$$n=199,\quad k=99,\quad p=\frac12,\quad q=\frac12.$$
$$P_{199}(99)=C_{199}^{99}\left(\frac12\right)^{99}\left(\frac12\right)^{100}.$$
г) 50 чисел, кратных трём, при 500 выборах чисел от 0 до 9:
Кратных 3 чисел 4 из 10, значит
$$n=500,\quad k=50,\quad p=\frac{4}{10},\quad q=\frac{6}{10}.$$
$$P_{500}(50)=C_{500}^{50}\left(\frac{4}{10}\right)^{50}\left(\frac{6}{10}\right)^{450}.$$
д) 170 неудач при опросе 700 человек, если удачными считаются суббота и воскресенье:
Тогда вероятность удачи $$p=\frac27,$$ а неудачи $$q=\frac57.$$
$$n=700,\quad k=170,\quad p=\frac57,\quad q=\frac27.$$
$$P_{700}(170)=C_{700}^{170}\left(\frac57\right)^{170}\left(\frac27\right)^{530}.$$
е) 573 удачных броска кубика из 735, если удача — выпадение 5 или 6 очков:
$$p=\frac26=\frac13,\quad q=\frac46=\frac23,\quad n=735,\quad k=573.$$
$$P_{735}(573)=C_{735}^{573}\left(\frac26\right)^{573}\left(\frac46\right)^{162}.$$
Проверим равносильность уравнений.
а) $$\frac{x^2+5x-3}{2x^2+1}=3$$ и $$x^2+5x-3=6x^2+3.$$
Так как $$2x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ умножение на знаменатель равносильно. Уравнения равносильны.
Ответ: да.
б) $$\frac{x^2}{\sqrt{x}}=1$$ и $$x^2=\sqrt{x}.$$
ОДЗ: $$x>0.$$ При умножении на $$\sqrt{x}$$ получаем $$x^2=\sqrt{x},$$ но при этом значение $$x=0$$ не входит в ОДЗ исходного уравнения. Уравнения не равносильны.
Ответ: нет.
в) $$\frac{\sin x}{\cos x-1}=1$$ и $$\sin x=\cos x-1.$$
В исходном уравнении обязательно $$\cos x-1\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne 1.$$ После преобразования это ограничение теряется, поэтому уравнения не равносильны.
Ответ: нет.
г) $$\frac{x^2-4x-3}{x^2-1}=2$$ и $$x^2-4x-3=2x^2-2.$$
ОДЗ: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$ При умножении на $$x^2-1$$ получаем второе уравнение. Корни второго уравнения $$x=2\pm\sqrt7$$ не нарушают ОДЗ, значит уравнения равносильны.
Ответ: да.
д) $$\frac{x^3}{\sqrt{x}+2}=1$$ и $$x^3=\sqrt{x}+2.$$
ОДЗ: $$x\ge 0,$$ а $$\sqrt{x}+2>0$$ при любых допустимых $$x.$$ Умножение на знаменатель равносильно, значит уравнения равносильны.
Ответ: да.
е) $$\frac{\sin x+1}{\sin x+3}=0{,}5$$ и $$2\sin x+2=\sin x+3.$$
Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ то $$\sin x+3\ne 0.$$ Умножение на знаменатель равносильно, значит уравнения равносильны.
Ответ: да.
Ответ
а) $$P_{16}(6)=C_{16}^6\left(\frac12\right)^6\left(\frac12\right)^{10}$$; б) $$P_{24}(4)=C_{24}^4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{20}$$; в) $$P_{199}(99)=C_{199}^{99}\left(\frac12\right)^{99}\left(\frac12\right)^{100}$$; г) $$P_{500}(50)=C_{500}^{50}\left(\frac{4}{10}\right)^{50}\left(\frac{6}{10}\right)^{450}$$; д) $$P_{700}(170)=C_{700}^{170}\left(\frac57\right)^{170}\left(\frac27\right)^{530}$$; е) $$P_{735}(573)=C_{735}^{573}\left(\frac26\right)^{573}\left(\frac46\right)^{162}$$.
Равносильны: а) да, б) нет, в) нет, г) да, д) да, е) да.
